FAQ - combinatoire /dénombrement

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 01/10/2005

-Ý- FAQ - Foire aux Questions
COMBINATOIRE	/ Dénombrement
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Rubrique

GRENOUILLES

Question

La grenouille monte les barreaux d'une échelle par un ou par eux

Combien de possibilités pour 13 barreaux ?

Réponse

Il y a 233 possibilités

C'est le 13^e nombre de Fibonacci

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233

Chacun étant la somme des deux précédents

Explications

Le principe est le suivant:

On fait le compte pour 2 puis 3 puis 4 … barreaux

On remarque que pour 4 barreaux (total noté: T4) il y deux cas:

Le premier: la grenouille fait un saut et se retrouve comme avec 3 barreaux: T3

Le deuxième: la grenouille fait un saut de 2 barreaux et se retrouve comme avec 2 barreaux: T2

Au total: T4 = T3 + T2

Avec T2 (situation de départ à deux barreaux) = 1 et T3 = 2

La formule est généralisable et on retrouve les nombres de Fibonacci

Détails

Pour plus de détails voir ma page en

http://villemin.gerard.free.fr/Denombre/Grenouil.htm

Vous verrez que ce problème est identique à celui des lapins de Fibonacci

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Iteration/Fibonacc.htm

et il est une bonne introduction aux notions de fractales

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Suite/Fractal.htm

-Ý-

Rubrique

SUITE DE FIBONACCI

Question

Vous indiquez que l'on peut construire une suite de Fibonacci d'origine quelconque.

Une question a ce propos : j'ai regardé d'autres sites, ils évoquent quasiment toujours une suite démarrant par 0,1. Pourquoi ? Est-elle particulière ?

Une autre question : en prenant n'importe quelle valeur pour les deux
premiers termes, la suite générée aura-t-elle la caractéristique que le
rapport en deux termes consécutifs tend ver le nombre d'or ?

Réponse

1) Les suites de Fibonacci sont toutes celles dont le 3^e terme est la somme des deux précédents

Quelles que soit les valeurs des 2 termes initiaux

LA SUITE de FIBONACCI est celle qui commence par 1, 1

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Iteration/Fibonacc.htm#depart

Elle n'a rien de particulier, sinon que c'est la plus étudiée comme exemple

Elle correspond au coup du lapin

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Iteration/Fibonacc.htm#lapin

et au paradoxe de Lewis Carroll

http://villemin.gerard.free.fr/Puzzle/LewisCar.htm

2) Suite de Fibonacci et ses cousines

Lucas, Padovan, Perrin …