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Rubrique
ENTIER
Question
Le nombre
A = { (7^1968)^1978-(3^68)^78 }
/ (1978-1968)
est-il entier ?
En math, on écrit ce nombre comme ceci (la
formulation ci-dessus permet de communiquer lorsqu'on ne dispose pas de
l'outil formules mathématiques):
Réponse
La
réponse est OUI
Mais,
voyons tout cela pas à pas
Ne
soyez pas effrayé par la longueur!
J'essaie
de vous donner toutes les étapes pour une bonne compréhension
Outils
Trois
propriétés vont être mises en œuvre
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§
Un nombre qui se termine par 0 est divisible
par 10
§
Soit deux nombres ayant les mêmes unités: l'unité
de la différence est 0
§
L'unité d'un nombre élevé à une certaine puissance, même très grande, est connu
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PREMIÈRE ÉTAPE
Divisibilité par 10
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Voyons ce nombre
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A =
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{ (7^1968)^1978 - (3^68)^78 } / (1978-1968)
= N /D
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Le numérateur est un nombre entier
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N =
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(7^1968)^1978 - (3^68)^78
C'est une combinaison sans division d'entiers
= entier
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Le dénominateur est facile à calculer
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D =
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1978-1968 = 10
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Le problème se résume à démontrer que
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N =
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divisible par 10
= 10 k
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En effet
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A =
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10k / 10 = k
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DEUXIÈME ÉTAPE
Différence divisible par 10
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Comment démontrer que
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N =
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10 k
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Décomposons ce numérateur en 2 termes
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N =
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C - D
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Avec
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C =
D =
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(7^1968)^1978
(3^68)^78
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Quelle est la condition pour que
cette soustraction donne
une différence divisible par 10
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C & D
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doivent se terminer par
le même chiffre des unités
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Exemple
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177 - 57
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= 120, divisible par 10
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TROISIÈME ÉTAPE
Unités des puissance de 7
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Prenons le premier
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C =
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(7^1968)^1978
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Unité d'une puissance de 7
On donne la puissance,
puis la valeur de 7 à cette puissance
On remarque que le chiffre des unités
revient selon un cycle de 4 coups
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1, 7
2, 49
3, 343
4, 2401
5, 16807
6, 117649
7, 823543
8, 5764801
9, 40353607
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Règle: Si la puissance divisée par 4
donne un reste de
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0
1
2
3
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l'unité est
1
7
9
3
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Dans notre cas, la puissance est
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p =
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1968
= 492 x 4
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reste 0
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unité 1
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Il faut encore élever à la puissance
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q =
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1978
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un nombre terminé par 1,
élevé à une puissance
se terminera toujours par
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1
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bilan
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C
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a 1 pour unité
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QUATRIÈME ÉTAPE
Unités des puissance de 3
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Prenons le second
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D =
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(3^68)^78
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Unité d'une puissance de 3
On donne la puissance,
puis la valeur de 3 à cette puissance
On remarque que le chiffre des unités
revient selon un cycle de 4 coups
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1, 3
2, 9
3, 27
4, 81
5, 243
6, 729
7, 2187
8, 6561
9, 19683
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Règle: Si la puissance divisée par 4
donne un reste de
|
0
1
2
3
|
l'unité est
1
3
9
7
|
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Dans notre cas, la puissance est
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p =
|
68
= 17x 4
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reste 0
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|
unité 1
|
|
Il faut encore élever à la puissance
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q =
|
78
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un nombre terminé par 1,
élevé à une puissance
se terminera toujours par
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|
1
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bilan
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D
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a 1 pour unité
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CINQUIÈME ÉTAPE
Multiple de 10 divisible par 10
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Le premier terme
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(7^1968)^1978
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se termine par 1
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Le second terme
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(3^68)^78
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se termine par 1
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leur différence
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(7^1968)^1978 - (3^68)^78
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se termine par 0
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Elle est divisible
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par 10
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et
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par 1978-1968
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Et le nombre donné
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(7^1968)^1978 - (3^68)^78
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est un multiple de 10
divisé par 10;
c'est un entier
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1978-1968
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