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NOMBRES -
Curiosités, théorie et usages Accueil / Dictionnaire / Rubriques / Index / Références / Nouveautés ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 01/10/2005 |
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-Ý- FAQ - Foire
aux Questions |
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GÉOMÉTRIE |
/ Puzzle |
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POLYGONES et DIAGONALES >>> CARRÉ PARFAIT |
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Théorie des
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Humour |
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Rubrique Question Je suis à la recherche d'un problème sur les
triangles dont la surface n'est pas la même selon le découpage. Réponse Il s'agit du puzzle de Lewis Carroll Qui utilise des propriétés des
nombres de Fibonacci Vous trouverez toutes les explications et figures sur ma page en http://villemin.gerard.free.fr/Puzzle/LewisCar.htm C'est effectivement très troublant lorsqu'on ne connaît pas l'explication |
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Rubrique Question: Énigme du pavage mystérieux du triangle: Avec les mêmes pièces et selon la
disposition on couvre le triangle ou à un carré près! Qu'est devenu le carré en trop ? Solution La solution tient aux fait qu'en y regardant
de plus près, ce ne sont pas tout à fait les mêmes pièces qui sont utilisées
dans les deux pavages Regardez bien où passe l'hypoténuse du
triangle par rapport au quadrillage L'explication est dans les nombres de
Fibonacci, le nombre d'or et Lewis Carroll Vous la trouverez sur la page suivante: http://villemin.gerard.free.fr/Puzzle/LewisCar.htm |
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Rubrique Question Je recherche les noms pour un polygone à
18, 20 et 1000 côtés, et le nombre de leurs diagonales. A) Baptême des polygones 18 => octakaidécagone 20=> icosagone 1000 => myriagone Explications et autres quantités de côtés en http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/Polygone.htm#Bapteme Ces noms ne sont jamais utilisés, c'est pour un simple amusement B) Quantité de diagonales Partons d'un polygone de n côtés (On note qu'il a aussi n sommets) On part du constat que: Quantité totale de segments (s) égale Quantité de côtés (n) plus quantité de diagonales (d) s = n + d Or on sait (voir ci-dessous) que le nombre total de segments joignant n points est s = n (n-1) / 2 On remplace pour avoir la solution finale d = s - n d = n (n-1) / 2 - n
= n (n-3) /2 Exemple pour 5 côtés n = 5 et d = 5 (5-3) / 2 = 5 n = 6 et d = 6 (6-3) / 2 = 9 n = 1000 et d = 1000 (1000-3) / 2 =498 500 C) Quantité de segments pour n points Pour aider à visualiser, faire une figure avec 5 côtés par exemple Tout ce qui suit est évident, surtout avec une figure Mais à l'écrire c'est long Allons-y: Première étape: dénombrement (comptage) Prenons le premier point: on peut joindre tous les points (n), sauf le point considéré (-1); soit la formation de n-1 segments Avec le deuxième point: on peut aussi joindre tous les points (n), sauf le point considéré (-1) et SAUF le premier point déjà vu (-1) soit la formation de n-2 segments Avec le troisième point: on peut aussi joindre tous les points (n), sauf le point considéré (-1) et SAUF les deux points déjà vu (-2) soit la formation de n-3 segments Etc. Avec le dernier point: On ne peut rien tracer: tous les points précédents ont été vus Mais reprenons la même forme de raisonnement on peut joindre tous les points (n), sauf le point considéré (-1) et SAUF les n-1 points déjà vu (-(n-1)) soit la formation de n- 1 - (n-1) segments qui donne 0 Avec l'avant dernier point: on peut joindre tous les points (n), sauf le point considéré (-1) et SAUF les n-2 points déjà vu (-(n-2)) soit la formation de n- 1 - (n-2) segments qui donne 1 Vous l'avez compris le point précédent (n-2) donnerait 2 Etc Deuxième étape: totalisation Récupérons nos résultats de comptage Premier point: n-1 Deuxième: n-2 Troisième: n-3 Etc. Avant-avant-dernier: 2 Avant-dernier: 1 Dernier 0 Découverte! Il s'agit de tous les nombres de 1 à (n-1) Il faut les ajouter pour trouver la quantité de tous les segments L'astuce consiste à les écrire DEUX fois Une fois en décroissant et une fois en croissant Et alors la somme devient évidente comme par enchantement s = (n-1) + (n-2) + (n-3) + … + 3 + 2 + 1 s = 1 + 2 + 3 + … (n-3) + (n-2) + (n-1) Si on ajoute ces deux lignes Chaque sous-total comme (n-1) + 1 donne n Faisons cette somme 2s = n + n + n + … +
n + n+ n On retrouve n autant de fois que de sous-totaux Soit n-1 fois Ce qui nous donne notre formule 2s = n (n-1) s = n(n-1)
/ 2 D) Conclusions S'il a quelque chose de très IMPORTANT à retenir de tout cela c'est 1)
Comment faire la somme des nombre successifs 2)
Comment compter
le nombre de segments joignant n points |
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Rubrique Question Pourriez-vous me dire simplement ce qu'est un carré parfait ? Réponse Mis à part le carré arithmétique (4² = 16) il y a le carré géométrique bien connu Le carré parfait est celui que l'on peut découper en carrés plus petits Ces carrés plus petits doivent être tous différents Le nombre minimum pour arriver à un tel exploit est de 21 petits carrés Voir tout cela sur ma page en http://villemin.gerard.free.fr/Pavage/CarrParf.htm |
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