NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 01/10/2005

-Ý- FAQ - Foire aux Questions
CALCUL	/ Sommes
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Rubrique

SOMME DE PUISSANCES de 2

Question

Trouver une expression plus simple pour la somme:

S = 1 + 2 + 4 + 8 +.... + 2 puissance 100

Réponse

A) BON À SAVOIR POUR DÉMARRER

Notez bien que

2 puissance 0 = 1

Ceci découle de la propriété additive des exposants des puissances

2² . 2⁰ = 2^{2 + 0} = 2²

soit: 2⁰ = 1

( 2 puissance n multiplié par 2 puissance 0 = 2 puissance n+0

= 2 puissance n

Soit 2 puissance 0 doit valoir 1)

B) UNE ASTUCE

Il faut commencer par une astuce comme souvent en maths Désolé!

2^n = 2^n (2 - 1) 2^n = 2^n+1 - 2^n

C) LA DÉMONSTRATION PAR SOMMES

Muni de cet outil voyons notre somme	Sn = 2^n + 2^n-1 + 2^n-2 + … + 2 + 1
On se souviendra que 2^0 = 1	Sn = 2^n + 2^n-1 + 2^n-2 + … + 2^1 + 2^0
Remplaçons par notre formule magique	Sn = 2^n+1 - 2^n + 2^n - 2^n-1 + 2^n-1 - 2^n-2 + … + 2^2 - 2^1 + 2^1 - 2^0
Additionnons, en observant les termes qui s'éliminent deux à deux	Sn = 2^n+1 - 2^0 = 2^n+1 - 1

D) Somme des puissance de 2 jusqu'à 100 ?

S100 = 2 p 101 - 1

= 2 535 301 200 456 458 802 993 406 410 751

En savoir plus sur les puissances de deux

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Nombre/Puiss2.htm

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