CARTE POSTALE 2214 du 15 juin 2008

DIVISIBLE PAR TROIS
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Observation

Ce nombre est divisible par 3? 5^6 – 7^4 = 3k ?	On peut calculer 5^6 – 7^4 = 15 625 – 2 401 = 13 224 = 3 x 4 408 Ce nombre est divisible par 3
Il y a plus simple pour reconnaître si ce nombre est divisible par 3, sans faire de grands calculs

Explication

Il suffit de calculer dans le monde des restes de la division par 3 sans se soucier des quotients Dans le monde, dit des modulos, on transforme une nombre en son reste dans la division par 3	5 divisé par 3 donne 2 pour reste On écrit: 5 = 2 mod 3 On lit: 5 égal 2 modulo 3 Ou pour les experts et pour bien montrer que nous sommes dans un monde particulier: 5 ≡ 2 mod 3 5 est congru à 2 mod 3
Remarque: on peut tout aussi bien dire que le reste de la division de 5 par 3 est 2 ou alors qu'il manque 1 pour que 5 soit divisible par 3	5 = (-1) mod 3
Ce calcul vaut même si le nombre est élevé à une puissance: Exemple 5^3 = 5 x 5 x 5 = 2 x 2 x 2 = 2^3 mod 3	5^k = 2^k mod 3 5^k = (-1)^k mod 3
Revenons à l'expression numérique du début Cette expression est égale à 0 modulo 3, dit autrement, son reste dans la division par 3 est 0. Il est divisible par 3.	5^6 = (-1)^6 = 1 mod 3 7^4 = ( 1)^4 = 1 mod 3 5^6 – 7^4 = 1 – 1 = 0 mod 3

Voir plus loin

EN GÉNÉRAL

Avec 5 et 7 => 5²ⁿ – 7^m = 3K

Et plus généralement => (3a – 1) ²ⁿ – (3b + 1) ^m = 3K

Le calcul modulo permet de caractériser la divisibilité d'un nombre

sans procéder à de lourds calculs

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Gérard Villemin