CARTE POSTALE 2305 du 15 juin 2008
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DIVISIBLE PAR ONZE |
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Ce nombre est divisible par 11?
521 –
712 = 11k ? |
On peut calculer
521 –
712 = 476
837 158 203 125 – 13 841 287 201 = 476 823 316 915 924 = 11 x 43 347 574 265
084 Ce nombre est
divisible par 11 |
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Il y a plus simple pour
reconnaître si ce nombre est divisible par 11, sans faire de grands calculs |
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Il faut faire appel au petit théorème de Fermat, bien utile pour ce genre de problème Il compare le reste de la division d'un nombre et de sa puissance |
ap-1
= 1 mod p p premier a et p premier entre eux |
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Avec les puissances de 5 et de 7 en modulo 11 Dans une puissance de 5 ou de 7, pour chercher sa divisibilité par 11, on peut simplement éliminer toutes les puissances de 10 sans changer le résultat |
511-1
= 1 mod 11 510 = 1 mod 11 711-1
= 1 mod 11 710 = 1 mod 11 |
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Revenons à l'expression numérique du début Calculons en mettant en évidence les puissances de 10 |
521
= 510 x 510 x 5 = 1
x 1 x 5 =
5 mod 11 712
= 710 x 7² = 1
x 49 = 5 mod 11 |
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En final, la différence donne une valeur nulle modulo 11 qui veut dire que le nombre de départ est divisible par 11 |
521 – 712 = 5 – 5 = 0
mod 11 |
Voir plus loin
APPLICATION
Dans son livre 1001
problèmes en théorie classique des nombres (Ellipses – 2004),
Jean-Marie De Koninck et Armel Mercier donnent l'exemple suivant: |
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Trouvez les trois plus petits facteurs premiers de ce nombre => |
596 –
7112
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Il est divisible par 2, car c'est le cas d'une différence de deux nombres impairs élevés à une puissance |
2 | 596
– 7112
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Il est divisible par 3, car en mod 3 le premier terme en 5 donne –1 et le second en 7 donne +1, soit une différence nulle |
3 | 596
– 7112
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Il est divisible par 11, en appliquant les calculs montrés ci-dessus |
11 | 596
– 7112
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Bilan |
596 – 7112 = 2 x 3 x 11 x K
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Le calcul modulo, y compris le
petit théorème de Fermat, permet de caractériser la
divisibilité d'un nombre sans procéder à de lourds
calculs |
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Gérard Villemin