CARTE POSTALE 3205 du 1^er août 2008

Observation

Quelle est la somme des carrés des nombres successifs

1² + 2² = 1 + 4 = 5

1² + 2² + 3² = 5 + 9 = 14

Formule pour calculer N = 1² + 2² + 3² + … + n ?

Explication

Tableau des valeurs jusqu'à 10

Peut-on établir une formule donnant chacune des valeurs de la somme (N = S n²) en fonction de n ?

C'est un produit de trois nombres divisé par 6

Elle est basée sur une démonstration par récurrence

Formule vraie pour n = 2 (1/6 x 2 x 3 x 5 = 5)

Si formule vraie pour n, on démontre qu'elle est vraie pour n+1

Dans ces conditionné, comme elle est vraie pour 2, elle sera vraie pour 2+1 = 3, puis pour 3+1 = 4, ainsi de suite

N = 1/6 n (n + 1) (2n + 1)

n = 10

N = 1² + 2² + 3² + … + 10²

= 1/6 x 10 x 11 x 21

= 1/6 x 2310

= 385

Gérard Villemin