collection de nombres, divisibilité par 576

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 11/03/2006

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DIVISIBILITÉ par 576

Critères de divisibilité

et formes polynomiales divisibles

-Ý - DIVISIBILITÉ PAR 576

Théorème

f(n) = 5^{(2n + 2)} - 24n - 25

est divisible par

576 = 24²

Démonstration

Validation du point de départ
§ Valeur pour f(1) § Le théorème est vrai pour n = 1	f(1)	= 5^{(2 + 2)} - 24 - 25 = 625 - 24 - 25 = 576
Validation de la récurrence
§ Supposons le théorème vrai pour n et calculons la valeur pour n+1	f(n+1)	= 5^{(2 (n+1) + 2)}- 24(n+1) - 25 = 5^{(2n + 4)}- 24n - 49 = 5².5⁽²ⁿ⁺²⁾ - 24n - 49
§ Calculons la différence indiquée	f(n) - 5² f(n)	= 5².5⁽²ⁿ⁺²⁾ - 24n - 49 - 5².5⁽²ⁿ⁺²⁾ + 5².24n + 5².25 = 24n(5²-1) + 625 - 49 = 24²n + 476 = 576 (n + 1)
§ La différence est divisible par 576 ü L'un des termes de la différence est divisible par 576 (notre hypothèse) ü L'autre terme doit l'être aussi pour assurer la divisibilité de la différence	f(n) f(n+1)	= 576 . k = 576 . h
Conclusion
§ Si la propriété est vraie pour une valeur (n) ü Elle est vraie pour la valeur suivante (n + 1) Ø Or elle est vérifiée pour n = 1 v Elle est vraie pour tous les nombres suivants

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