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Édition du: 14/02/2023 |
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INDEX |
Types de Nombres – Motifs |
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Nombres Premiers MAISONS (home) Nombres résultant d'une itération impliquant la
concaténation des facteurs.
Le cycle itératif se termine lorsqu'un nombre premier
est atteint. Un nombre composé
est ainsi associé à un nombre premier via une itération. Ainsi le nombre
6 = 2 × 3 est
associé à 23 qui est un nombre premier. |
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Terminale et + |
Sommaire de cette page >>> Nombres premiers-maisons >>> Itérations pour les nombres de 2 à 20 >>> Liste des nombres premiers maisons >>> Programme Maple |
Débutants Glossaire |
Anglais: Home primes
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Exemple Prenons le nombre 9, son associé-maison est 311. M(9) = 311 L'associé du nombre 10 est 773 M(10) = 773 |
9 = 3 x 3 33 = 3 x 11 311 est premier |
10 = 2 x 5 25 = 5 x 5 55 = 5 x 11 511 = 7 x 73 773 est premier |
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Définition Le nombre premier-maison d'un nombre n est le
nombre premier associé obtenu par itération comme suit:
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Cas du nombre 8 qui
"résiste" On donne les quatorze nombres successifs: 8, 222, 2337, 31941, 33371313, 311123771,
7149317941, 22931219729, 112084656339, 3347911118189, 11613496501723,
97130517917327, 531832651281459, 3331113965338635107. |
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Nombre premier-maison Ce sont les nombres premiers associés |
311 et 773 sont premiers
maisons. |
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On donne les nombres successifs obtenus par
concaténation des facteurs suivi de la quantité d'itérations. [2], 1 [3], 1 [4, 22, 211], 3 [5], 1 [6, 23], 2 [7], 1 [8, 222, 2337, 31941, 33371313, 311123771,
7149317941, 22931219729, 112084656339, 3347911118189, 11613496501723,
97130517917327, 531832651281459, 3331113965338635107], 14 [9, 33, 311], 3 [10, 25, 55, 511, 773], 5 [11], 1 [12, 223], 2 [13], 1 [14, 27, 333, 3337, 4771, 13367], 6 [15, 35, 57, 319, 1129], 5 [16, 2222, 211101, 3116397, 31636373], 5 [17], 1 [18, 233], 2 [19], 1 [20, 225, 3355, 51161, 114651, 3312739, 17194867,
194122073, 709273797, 39713717791, 113610337981, 733914786213,
3333723311815403, 131723655857429041, 772688237874641409,
3318308475676071413], 16 |
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Voir Table des facteurs
des nombres
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La présence des nombres premiers permet de
repérer le nombre origine. Par exemple: après le nombre premier 11, on
trouve M(12) = 223 1, 2, 3, 211, 5, 23, 7, 3331113965338635107, 311,
773, 11, 223, 13, 13367, 1129, 31636373, 17, 233, 19, 3318308475676071413,
37, 211, 23, 331319, 773, 3251, 13367, 227, 29, 547, 31, 241271, 311, 31397,
1129, 71129, 37, 373, 313, 3314192745739, 41, 379, 43, 22815088913, 3411949,
223, 47, 6161791591356884791277, … OEIS A037274 Au-delà, il existe des nombres pour lesquels le
nombre associé n'est pas connu. Trop grande quantité d'itérations. C'est le
cas pour 49 (et par conséquent 77):
l'itération 109 atteint un nombre de 232 chiffres. En 2011, il y en avait 30
encore inconnus jusqu'à 1000. Voir
Table des itérations pour les nombres jusqu'à 119 par Patrick De Geest
et al. |
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But Pour chaque nombre n, lister les itérations
successives pour atteindre le nombre premier maison. Indiquer la quantité d'itérations. Commentaires Le procédé d'itérations est défini par une
procédure. On extrait les facteurs dans F. Chaque facteur est composé de deux
nombres: le facteur et son exposant. Il faut répéter le facteur autant de
fois que l'indique l'exposant. Cette liste de facteurs est en L. L'instruction cat
concatène les nombres de L et l'instruction parse
en fait un nombre entier. Le programme principal explore les nombre n de 2
à 10 (exemple). Ce nombre est préservé en nn. Le procédé d'itérations est lancé tant que le
résultat n'est pas un nombre premier. La liste S des nombres itérés est établie pour
chaque nombre. Le compteur kt comptabilise la quantité
d'itérations. Si vous lancer le programme
pour de plus grands nombres, il est conseillé d'introduire un critère d'arrêt
sur le compteur. Listing pour copier-coller dans
Maple restart; Iter := proc (n) local F, q, L, f, e, i,
j, k, qL, m; F := ifactors(n)[2]; q := nops(F); L := []; for i to q do f :=
F[i]; e := f[2]; for j to e do L := [op(L), f[1]] end do end do; L; m :=
parse(cat(op(L))) end proc; for n from 2 to 10 do S := [n]; nn := n; kt := 1;
while isprime(nn) = false do nn := Iter(nn); S := [op(S), nn]; kt := kt+1 end
do; lprint(S, kt) end do: |
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Voir Programmation – Index
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