NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 06/04/2022 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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Voir Nombres entiers

Formes polynomiales donnant un entier
Affirmation Montrez que l'expression suivante est un nombre entier: N = n^5/5 + n^3/3 + 7n/15 Réduction au même dénominateur	Exemples

Voir Divisibilité des polynômes

Démonstration par induction

Pour k = 1, c'est vrai

n^5	+	n^3	+	7n	=	1	+	1	+	7	= 1
5		3		15		5		3		15

Supposons la formule vraie pour k,

L'est-elle pour k + 1?

m =	k^5	+	k^3	+	7k
	5		3		15

m' =	(k+1)^5	+	(k+1)^3	+	7(k+1)
	5		3		15

15 m' = 3(k+1)⁵ + 5(k+1)³ + 7(k+1)

Rappel du développement du binôme en utilisant le triangle de Pascal

2	=>				1		2		1
3	=>			1		3		3		1
4	=>		1		4		6		4		1
5	=>	1		5		10		10		5		1

Développons 15m'

15m' =

3 k^5	+ 3 x 5k^4	+ 3 x 10k^3	+3 x 10k^2	+ 3 x 5k	+ 3 x 1
		+ 5 x k^3	+ 5 x 3k^2	+ 5 x 3k	+ 5 x 1
				+ 7k	+7
= 3 k^5	+ 15k^4	+ 35k^3	+45k^2	+ 37k	+ 15

En divisant par 15 et en ordonnant pour mettre en évidence m.

En fait m est la somme de m qui est supposé être un entier, et d'un polynôme en k qui lui aussi donne un entier.

Alors la somme de ces deux termes entiers est un entier

CQFD.

m' =	k^5	+ k^4	30k^3	+	5k^3	+ 3k^2 +	30k	+	7k	+ 1
	5		15		15		15		15

m' =	k^5	+	k^3	+	7k	+ k^4 + 2k^3 + 3k^2 + 2k + 1
	5		3		15

m' = m + k⁴ + 2k³ + 3k² + 2k + 1

Autres formes polynomiales donnant un entier

On montrerait de la même manière que les expressions suivantes donnent des nombres entiers:

n^7	+	n^5	+	n^3	+	n^2	–	37n
7		5		3		2		210

n^11	+	n^5	+	n^3	+	62n
11		5		3		165

Suite	Démonstration par récurrence
Voir	Algèbre – Les bases Type de nombres Inverses et formes polynomiales
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Type/Entier.htm