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Édition du: 10/02/2024 M'écrire Brèves de Maths

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Polygones CONCAVES Polygones non-convexes, polygones rentrants Définition, propriétés et curiosités. Pavage du sphinx.
	Sommaire de cette page >>> Approche >>> Propriétés >>> Somme des angles >>> Défis >>> Pavage	Débutants Géométrie Glossaire Géométrie

Anglais: Concave polygon

Approche		haut
Types de polygones CONVEXE CONCAVE CROISÉ
Polygone concave – Définition Polygone tel qu'il existe deux points du polygone reliés par un segment non-entièrement contenu dans le polygone. Voir le trait pointillé sur l'illustration

Propriétés		haut
Type Polygone non-convexe et non-croisé. Il existe au moins une droite plaquée sur un côté qui coupe un autre côté. Tous les polygones concaves sont irréguliers. Le triangle (3-gone) n'est jamais concave. Sommet Polygone tel qu’un sommet est tournée vers l’intérieur du polygone. Côtés Un polygone concave doit avoir au moins quatre côtés. Diagonales Certaines diagonales peuvent se trouver partiellement ou complètement à l'extérieur du polygone concave. De même, il existe des sécantes qui coupent le polygone plus de deux fois. Angles Les polygones concaves ont au moins un angle interne rentrant (> 180°). L’angle rentrant fait pointer le sommet vers l’intérieur. Les angles intérieurs ne sont pas égaux.	Concave et convexe Exemples de polygones concaves

Somme des angles		haut
Propriété La sommes des angles internes d'un polygone concave à n côtés, comme pour les polygones concaves, est égale à: S = (n – 2) 180° = π (n – 2) Exemple (figure) S = 60 + 30 + 225 + 45 = 360° S = (4 – 2) 180 = 360° Explication Le polygone est divisé en deux triangles (pointillé). La somme des angles de chacun est 180°. La somme des angles externes est quelconque et peut être supérieure à 360°.
Avec les bissectrices Un quadrilatère concave. Les bissectrices des angles voisins de l'angle interne rentrant. L'angle entre bissectrices est la demi somme des angles alpha et bêta. Explication

Voir Poster – Triangles

Défis		haut
Construction du défi n°1 Un quadrilatère concave avec trois côté isométriques. Un angle vaut 30° Quelle est la valeur de l'angle alpha ? Piste La somme des angles internes du quadrilatère vaut 360°. On connait les angles en B et C, on cherche l'angle en A. Il faut donc connaitre l'angle en E. Pour cela on complète le carré. Solution L'angle DCE est égal à 90° – 30° = 60°. Dans le carré: DC = BC. Le triangle CDE est équilatéral. L'angle en E vaut 60°. Aussi: DE = DC = DA. Le triangle ADE est isocèle. Angle à la base = (180° – 30°) / 2 = 75° Finalement l'angle externe en E vaut: 75° + 60° = 135° et l'angle interne: 360° – 135° = 225° Dans le quadrilatère bleu: 225° + 30° + 90° + α = 360° α = 15°	Figure du défi Construction et notations

Construction du défi n°2 Quelle est l'aire de ce quadrilatère concave en forme de delta ? Piste Complétons le triangle équilatéral ABC. Ses côtés sont connus, son aire s'en déduit. Le triangle ADB possède deux angles de 45° (60° – 15°). Il est isocèle rectangle. Sa base est connue, son aire s'en déduit. Calculs Voir Aire du triangle équilatéral

Figure du défi Construction et notations

Voir Défis en géométrie – Index

Pavage			haut
Avec cette brique pentagonale concave, dite du sphinx, dans ce sens ou retournée, il est possible de paver le plan infini. Avec quatre de ces briques, il est possible de reconstituer une brique plus grande de même forme (homothétie de rapport 2) Ave cette nouvelle brique, il est possible d'en construire une nouvelle plus grande, etc. C'est une composition en mode fractal ou autosimilarité. Un puzzle avec cette brique est diffué par le fabricant EFCÉ.
En restituant la brique de base en plus grand, puis encore en plus grand, etc. 16 briques
En construisant un triangle équilatéral, puis un plus grand, puis de plus en plus grand. 24 briques

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Voir	Géométrie – Index Illusions d'optique Polyèdres Polygones magiques Triangles
Sites	Polygone non convexe – Wikipédia Pavages et recouvrements – Stéphane Vinatier Sphinx L'énigme des pentagones résolue – Michaël Rao – La recherche – Mars 2018
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Polygone/PolyCave.htm