NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Propriétés

>>> Triplets, quadruplets

>>> Graphe

>>> Produit cartésien

 

 

 

 

COUPLES

 

Notion simple qui consiste à apparier deux choses, deux objets mathématiques. Sa définition conduira naturellement à la notion de fonction.

 

 

Approche

 

*    En algèbre, nous pouvons définir des relations entre objets mathématiques, comme égal (=), appartient ().

*    Il est aussi possible de définir une nouvelle race d'objets mathématiques en associant plusieurs d'entre eux.
 

*    On appelle couple z un objet mathématique formé à partir de deux autres et noté: z = (x , y).

*    Un couple est caractérisé par la règle suivante:

 

(x , y) = (u , v)  x = u et y = v

 

*    Deux couples sont égaux si respectivement les premiers et les seconds éléments sont égaux.

 

Propriétés

 

*    Sans autre précision, l'ordre des éléments dans un couple est important.

 

(x , y) = (y , x)  x = y

 

*    Un couple n'est pas un ensemble de deux objets {x , y}, mais un objet mathématique à part entière: les deux éléments sont "mariés", ils sont en couple.

 

*    Dans un couple (x , y):

*      x est la première projection: x = pr1(z); et

*      y est la seconde projection: y = pr2(z).


 

 

Triplets, quadruplets …

 

*    La notion de couples peut être généralisée à plus de deux objets mathématiques.

 

*    Définition du triplet: un couple, dont l'un des éléments est un couple:

 

(x , y, z) = ( (y , x) , z)

 

*    Égalité de deux triplets

 

(x , y , z) = (u, v , t)  x = u et y = v et z = t


 

 

 

GRAPHE

 

*    Un ensemble composé de couples est appelé graphe (G).

*    Il existe alors deux sous-ensembles:

*      X composés des x = pr1(z), et

*      Y composés des y = pr2(z).

 

 

PRODUIT CARTÉSIEN

 

*    Avec deux ensembles X et Y, on forme un ensemble dit produit ou cartésien:   Z  = X  Y

*    L'ensemble Z est formé de couples dont l'un des éléments appartient à X et l'autre à Y.

*    Le produit X  Y est l'ensembles des couples (x , y) avec x  X et y  Y.
 

Analogie géométrique

 

*    Une courbe dans le plan est définie par les coordonnées de ses points: le couple (abscisse, coordonnée).

*    L'ensemble de ces couples forment un graphe (un graphisme).

*    Le fait d'associer y à x est l'opération appelée produit cartésien.

*    C'est cet exemple en géométrie qui est à l'origine du nom.

 

Un nom important pour une notion toute simple, évidente, dirai-je même. C'est la généralisation à tout objet mathématique qui va produire toute la puissance de cette notion de base.

 

Propriétés

 

*    Un produit cartésien est vide dès que l'un des ensembles est vide.

 

*    Soit quatre ensembles, alors:

 

A  X et B  Y   A  B   X  Y

Réciproque exacte si A et B sont non vides.

 

Notations

X² = X  X

(ensemble des couples formés de deux objets mathématiques de même nature)

 

R² = R  R

(ensemble des couples formés de deux nombres réels)

 

 

 

 

 

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Livre

*         Cours d'algèbre de Roger Godement – Enseignement des sciences – 1987

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