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Débutant DicoMot DicoNombre	ENSEMBLES Classes

Définitions	Collection d'éléments considérée dans sa totalité. Notion qui correspond à l'idée intuitive de collection, de groupement d'objets appelés éléments. Un ensemble est une collection d'objets issus de notre perception ou de notre pensée, tous déterminés et distincts. Ces objets s'appellent les éléments de l'ensemble. À bien noter: Selon le langage courant, une collection (ou une famille) peut comporter plusieurs copies du même élément {1, 1, 1, A, *, *}, Alors qu'un ensemble ne compte qu'un seul élément de chaque type {1, A, *}. L'ensemble des nombres entiers est bien de ce type: {1, 2, 3, 4, 5, 6 …}. Voir Redondance / Multiensemble
Ensemble ou classe	Une classe est constituée d'individus; c'est normalement une notion de la logique Un ensemble est constitué d'éléments; c'est une notion de mathématiques Ces deux termes sont souvent synonymes.
Oups!	Mais des relations et des règles d'emplois et … des paradoxes, parfois.

Exemples d'ensembles	Les voyelles {a, e i, o, u , y} Les chiffres {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Les nombres pairs {0, 2, 4, 6…} Les nombres premiers inférieurs à 10 {2, 3, 5, 7} Les nombres entiers naturels (Voir Ensembles des nombres).
Notations	A, B, C (grandes lettres: réservées au nom des ensembles. a, b, c (petites lettres): pour les éléments de l'ensemble. a A signifie que l'élément a appartient à l'ensemble A. a A signifie que l'élément a n'appartient pas à l'ensemble A. désigne un ensemble vide, ne comprenant aucun élément.

Caractérisation	Un ensemble peut être caractérisé par l'une des deux manières suivantes: par énumération de ses éléments {a, b, c} a, b et c sont les trois éléments de l'ensemble. par une propriété {2, 3, 5, 7} = {x P(x) et x<10} avec P(x) qui signifie x est un nombre premier. {0, 1, 2, 3, …} = {x x N} tous les éléments x tel que x appartient à l'ensemble N des entiers naturels.
Types	Un ensemble peut-être: un ensemble fini: on peut répertorier les éléments. ou un ensemble infini: on ne peut que se référer à une propriété {x E(x)}.

Intérêt

Trouver des caractéristiques communes à des groupes d'objets et, de ce fait, traiter globalement la collection (l'ensemble) au nom de tous les objets. Base de toutes les mathématiques d'aujourd'hui. Son vocabulaire constitue le langage des mathématiques modernes.

Théorie

La théorie des ensembles traite de toutes ces propriétés: Théorie élémentaire des ensembles (ou naïve ou intuitive): ensemble, éléments, sous-ensembles. propriétés des opérations ensemblistes: produit cartésien, réunion, intersection, etc. relations binaires sur un ensemble: équivalence, ordre, etc. applications: surjection, injections, bijections. Théorie axiomatique des ensembles formalisation de la notion d'ensemble: systèmes axiomatiques. en prenant soin de supprimer tout paradoxe qui pourraient en résulter. Voir Théorie des ensembles - Développements

Paradoxe

De la définition originelle formulée par Cantor résultait des paradoxes. On l'utilise toujours à condition de prêter garde aux frontières qui conduisent aux paradoxes (Comme en mécanique, on peut déjà faire beaucoup avec Newton sans aller chercher Einstein, à condition de rester dans un "monde ordinaire"). Célèbre mise en évidence par Russel dans le paradoxe qui porte son nom: Soit l'ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes. Est-ce que ce nouvel ensemble se contient lui-même ?

Mathématiciens

Mathématiciens associés à la théorie des ensembles Bolzano, Dedekind, Cantor Zermelo, Fraenkel Von Neumann, Bernays, Gödel, Quine

Anglais

Set A well-defined collection of objects. It may be possible to define a set by listing the elements or as consisting of all elements that satisfy some property. Kamke's definition (Theory of Sets – 1950) By a set we are to understand, according to G. Cantor, "a collection into a whole, of definite, well-distinguished objects (called the elements) of our perception or of our thought…" For a set, the order of succession of its elements shall not matter… Furthermore, the same element shall not be allowed to appear more than once. The number complex 1, 2, 1, 2, 3 consequently, becomes a set only after deleting the repeated elements. A multiset is a collection of objects (called elements) in which elements may occur more than once. >>>

Suite

Anneaux Cardinal d'un ensemble fini Classes Classes de congruence Classes de congruence avec diviseurs de n Classes en statistiques Constructions des ensembles de nombres Corps Couverture par ensembles Ensemble comme outil de reconnaissance de redondance et de différence Groupe – Introduction Groupe – Nombres Groupe des entiers modulo 4 avec addition (Z4) Groupe fondamental Groupe monstre Groupes – Types Groupes cycliques Groupes et triangles Le bon ordre (Zemerlo) Les maths modernes Multiensemble (Multiset) Parties d'un ensemble Partition d'un ensemble Produit cartésien de deux ensembles Stabilité et clôture Structures algébriques – Index En savoir plus

Cardinal d'un ensemble fini
Principe	On cherche à savoir quelle est la quantité d'éléments appartenant à un ensemble. Un nouveau mot sert à désigner cette quantité.	E = {a, b, c} F = {}
Cardinal	E un ensemble fini de n éléments. n le nombre d'éléments de E. n est le cardinal de E	Card(E) = 3 Card(F) = 2
Vide ?	Convention	Card () = O

Suite en Cardinal

Parties d'un ensemble
Identification	A sous-ensemble de E
Réunion	A B partie jaune (pensez au U de "union" ou à une coupe qui contient tout)
Intersection	A B partie rouge (pensez à une pince qui ne ramasse que le minimum)
Complémentaire	est le complémentaire de A dans l'ensemble E partie grise Propriété A = E A =
Disjoints	A B = A et B n'ont aucun élément en commun

Suite en Logique de Boole

Partition d'un ensemble
Partition	L'ensemble E complet est découpé en parties A1 , A2 , A3 , A4 et A5	Partition de E en 5 + 2 = 7 sous-ensembles
Définition	Les parties A1 , A2 , … Ap constituent une partition de E si elles sont deux à deux disjointes leur réunion est égale à E
Extra	Les deux ensembles suivants font parties de la partition: l'ensemble complet, lui-même: E l'ensemble vide: Æ
Notation	(E) est l'ensemble de toutes les parties de E.	(E) = {E, , A1 , A2 , A3 , A4 , A5}

Suite en Partition

Produit cartésien de deux ensembles
Principe	Associer les éléments d'un ensemble avec ceux d'un autre ensemble pour former des couples. On les forme tous !	E = {a, b, c} F = { }
Notation	E x F =	{(a, ), (a, ), (b, ), (b, ), (c, ), (c, )}
Couple	Les éléments du nouvel ensemble sont appelés couples.	Couple (a, )
Généralisation	E1 x E2 ... En Les éléments du nouvel ensemble sont appelés n-uplets.	n-uplet (a, , 3, ...)

En savoir plus

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