calcul des variations – volume maximum de la boîte

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BOÎTES

Volume maximum avec une surface donnée?

La réponse n'est pas évidente!

LE PROBLÈME

UNE FEUILLE DE PAPIER

Il est demandé de construire une boîte rectangulaire (parallélépipède).

Le plan classique est donné par la figure. Il s'agit de découper les angles pour former les languettes qui seront collées pour renforcer les côtés de la boîte.

La difficulté consiste à construire LA boîte qui aura le maximum de contenance

LA BOÎTE ET SES DIMENSIONS

Soit x la hauteur de la boîte

Longueur = L – 2x

Largeur = l – 2x

Volume = (L – 2x) ( l – 2x ) x
= x ( L.l – 2xL – 2xl + 4x²)

V = 4x³ - 2x² (L + l) + x.L.l

Que faire avec cette expression?

SOMMES-NOUS À LA DÉRIVE?

Oui, nous devons faire appel aux dérivées. En effet, cette théorie nous apprend que la fonction passe par un extremum lorsque la dérivée est nulle.

Pour trouver la fonction dérivée, la règle est relativement simple:

La dérivée de a.x^k est a.k x⁽^{k – 1)}

Par exemple: 4x³ donne 4 . 3 x^3-1 = 12x²

V = 4x³ – 2x² (L + l) + x.L.l

V' = 12x² – 4x (L + l) + L.l

Soit à résoudre une équation du second degré.

APPLICATION
Exemple	Longueur Largeur	200 cm 100 cm
Résolution de l'équation du second degré	Vp =	12x² – 1200x + 20000
Première solution x = 50 + 503/3	Calcul de la hauteur (x) Longueur de boîte Largeur de boîte Volume	78, 867 … cm 42, 264 … cm - 57, 735 … Impossible - 192 450,0… cm³
Deuxième solution x = 50 – 503/3	Calcul de la hauteur (x) Longueur de boîte Largeur de boîte Volume	21, 132 … cm 157, 735… cm 57, 735 … cm 192 450,0… cm³