NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 18/06/2022 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Le problème de Didon >>> Rectangles et carrés >>> Polygones >>> Cas de l'hexagone >>> Cercles et sphères >>> Preuves – Approche >>> Inégalités isométriques >>> Historique >>> Anglais

ISOPÉRIMÈTRE

(Multiplicateur de Lagrange, équation d'Euler-Lagrange)

Quelle est la figure qui offre la plus grande surface ?

Le plus grand volume ?

Le cercle offre 25% de surface de plus que le carré à même périmètre.

La princesse Didon de Carthage connaissait déjà la réponse.

J. Bernoulli a trouvé ce résultat.

LE PROBLÈME DE DIDON Équation de la reine Didon
La corde On dispose d'une longue corde. Quelle est l'enclos de surface maximum que l'on puisse créer avec cette corde ? C'est le problème de Didon (nom latin Dido) ou problème géométrique de l'isopérimètre: quelle est la figure d'aire maximum, étant donné un certain périmètre? Approche
Losange: Périmètre: 18 Aire: 12
Carré: Périmètre: 16 Aire: 16 Son périmètre est plus petit, et pourtant sa surface est plus grande.
Rectangle: Périmètre: 16 Aire: 7 Minimum?
Cercle: Périmètre: 16 Aire: 20,4 Maximum? Calcul

Voir Losange / Carré / Rectangle / Cercle

La suprématie du carré

Du rectangle ou du carré, quel est celui qui englobe la plus grande surface, à périmètre identique ? Prenons l'exemple des figures suivantes: Les périmètres sont identiques (4a). L'aire du carré (a²) est toujours plus grande que celle du rectangle (a² – b²). De tous les rectangles et à même périmètre, c'est le carré qui couvre la plus grande surface. Exemple: Le plus grand terrain rectangulaire entouré avec une corde de 40 m, sera un carré de 40 / 4 = 10 m et son aire sera 100 m². Le côté du carré sera toujours le périmètre divisé par 4. Il fera mieux avec un cercle. Aire en fonction du périmètre:

Voir Brève 546

POLYGONES

Généralisation Cette propriété du carré était connue de Zénodore. Il généralise la propriété du carré aux polygones et ira même plus loin… La démonstration complète n'est pas évidente du tout. Propriété Pour chaque type de polygones et à même périmètre, c'est le polygone régulier qui couvre la plus grande surface. Figures isopérimètriques: triangle équilatéral, le carré, le pentagone régulier, etc. Question suivante Vu, au sein de chaque famille, la régularité est récompensée. Mais, entre ces familles, toujours avec le même périmètre, quelle est la figure qui couvre la plus grande surface?

Cas de l'HEXAGONE
Figure Propriété L'aire de l'hexagone est supérieure à celle du carré… Calculs
Côté de l'hexagone Apothème	a h	= 1 = ?
Hexagone	OA = AB = OB = a	= 1
Triangle équilatéral	AC = CB = a/2	= 1/2
Pythagore	h² = a² – (a/2)² = 3/4 a²	= 1 – 1/4 = 3/4
Longueur de l'apothème	h = a3 / 2	= 3 / 2
Aire du triangle	A = 1/2 ah = 1/2 a (a3 / 2) = a² 3 / 4	= 3 / 4
Aire de l'hexagone	AH = 6A = 6 a² 3 / 4 = 3a² 3 / 2	= 33 / 2 = 2,598…
Périmètre de l'hexagone	P = 6a	= 6
Périmètre du carré	P = 6a	= 6
Côté du carré ayant ce périmètre	c = 6a/4 = 3a/2	= 3/2
Aire du carré	AC = (3a/2)² = 9a² / 4	= 9/4 = 2,25

Généralisation

Carré	2,25
Hexagone régulier	2,598…
Octogone régulier	2,715…
Dodécagone régulier	2,799…
Etc.
Cercle	2,864…

De tous les polygones réguliers et à même périmètre, c'est celui qui a le plus de côtés qui couvre la plus grande surface. Le cercle, "polygone régulier" à nombre de côtés infini, les surpasse tous.

CERCLES ET SPHÈRES

Cercles De toutes les figures et à même périmètre, c'est le cercle qui couvre la plus grande surface. De toutes les figures de même aire, c'est le cercle qui a le plus petit périmètre. Soit deux points et un arc de longueur donnée, c'est le demi-cercle qui couvre la plus grande surface. Sphères De toutes les figures de même aire, c'est la sphère qui le plus grand volume. De toutes les figures et à même volume, c'est la sphère qui a la plus petite aire.

PREUVES – APPROCHE

La démonstration rigoureuse n'est pas simple. Elle s'appuie sur des démonstrations partielles telles que celles exposés ci-dessous. Convexe Ce qu'il faut démontrer: la figure cherchée est convexe. En effet: supposons qu'elle soit concave: figure en bleu. On peut y ajouter la figure symétrique: dessin en brun. La figure résultante à même périmètre que celle de départ: PA EF BCD = PA GH BCD Pourtant c'est bien la nouvelle figure qui couvre la plus grande surface. Elle est convexe. Une forme concave peut toujours être remplacée par sa symétrique convexe et obtenir une plus grande aire à même périmètre. Demi-périmètre et symétrie Ce qu'il faut démontrer: si le périmètre est divisé en deux parties égales. Alors la surface l'est aussi. En effet: considérons les deux polygones: ACDB (bleu) et ABE (marron). Ils ont même périmètre. Par contre, l'aire du polygone bleu est plus petite que celle du polygone marron. Dessinons le polygone symétrique au marron: AFB. Considérons les deux polygones: AFBE et ACDBE. Ils ont même périmètre, mais l'aire du premier (symétrique) est plus grande que celle du second. La figure répondant au problème présente une certaine symétrie: chaque fois que le périmètre est coupé en deux parties de même longueur, l'aire maximum est obtenue lorsque les surfaces de part et d'autre sont symétriques. Intuitivement, il est possible de déduire le résultat en prenant la coupure du périmètre sur des points successifs rapprochés. À chaque, la figure est symétrique et a la limite, "ronde". Demi-cercle Ce qu'il faut démontrer: soit deux points et un arc de longueur donnée, c'est le demi-cercle qui couvre la plus grande surface. En effet: étant donné un arc issu de deux points, dessinons un triangle. On démontre d'abord que, de tous les triangles ayant deux côtés donnés, c'est celui qui forme un angle droit avec ces côtés qui couvre la plus grande surface: T doit être triangle rectangle. On démontre ensuite que la somme des deux surfaces bleues C1 et C2 reste constante quelle que soit la position de S. Et, finalement, on déduit que seul un demi-cercle permet à T de rester rectangle. L'arc maximalisant l'aire est un demi-cercle.

Voir Aire de la lunule

INÉGALITÉS ISOMÉTRIQUES
Anglais: Isoperimetric Inequality Des théorèmes cités ci-dessus, on peut tirer les inégalités suivantes:	P = Périmètre S = Surface V = Volume
Dans le plan Égalité seulement pour le Cercle.
Dans l'espace Égalité seulement pour la Sphère.
Cas du rectangle Égalité seulement pour le Carré.	Relation entre moyennes arithmétique et géométrique

HISTORIQUE

Antiquité Le théorème de l'isopérimètre est connu depuis l'Antiquité. Didon Quelques siècles avant J.-C. et selon la mythologie, la princesse Didon sœur de Pygmalion, roi de Tyr s'installe sur la côte nord de l'Afrique avec quelques amis. Elle forme de grandes surfaces semi-circulaires avec le diamètre longeant la côte. C'est la ville de Carthage (ville tunisienne située au nord-est de la capitale Tunis). Légende d’Elyssa-Didon. La reine phénicienne qui fuit Tyr, parvient avec ses vaisseaux jusqu’au golfe de Tunis. Demandant asile, on ne lui permet d'occuper que la surface que pourrait recouvrir la peau d’un bœuf. Rusée, la reine Didon découpe la peau en fines lanières si fines qui mises bout à bout constituent une corde de 4000 mètres. Elle la dispose en cercle, englobant ainsi la plus grande superficie possible: le tout premier territoire de Carthage. Didon avait en quelque sorte anticipé le résultat isopérimétrique selon lequel: de toutes les courbes fermées sans point double, de longueur donnée, celle qui entoure l’aire la plus grande est le cercle. Didon a donc résolu un problème isopérimétrique c’est à dire qu’elle a maximisé une aire pour un périmètre donné. Les mathématiciens parleront de multiplicateur de Lagrange ou d’équation Euler-Lagrange. Généralisation Équation d'Euler-Lagrange: résolution de problèmes de minimisation de longueur d'arc. Équation différentielle donnant les conditions d'extremum d'une fonction. Multiplicateur de Lagrange: technique qui permet de rechercher des maximums de fonction sous contraintes. L'idée est d'associer à chaque contrainte un multiplicateur a priori indéterminé. Voir Volume maximum du cylindre pour aire donnée Zénodore Il a donné toutes les propriétés énoncées ci-dessus, y compris entrevoir celle de la sphère. Mathématicien grec: entre II siècle av. J.-C. et I^er après (?). On ne connaît son œuvre que par des écrits indirects, comme ceux de Pappus Pappus d'Alexandrie Pappus (environ 300 après J.-C.) a repris tous ces travaux sur l'isopérimétrie. À cette époque, il écrit: Les abeilles connaissent un fait utile pour elles. Un hexagone est plus grand que le carré ou le triangle et contient plus de miel pour la même quantité de matériaux utilisés pour leur construction. Nous, qui déclarons avoir plus de sagesse, allons étudier un problème plus vaste. De toutes les figures planes équilatérales ou équi-angulaires ayant le même périmètre, la plus grande est toujours celle qui a le plus d'angles et la plus grande de toutes est le cercle. Bernoulli Johann et Jacob Bernoulli (autour de 1700) travaillent sur ce problème en impliquant d'autres types de courbes: ellipses, paraboles … D'ailleurs, le cercle et la sphère y conservent leurs propriétés. Suite à ces recherches, les Bernoulli créent une nouvelle branche des mathématiques: calcul des variations. Steiner Jacob Steiner (1796-1863) donna la preuve rigoureuse du théorème en 1841. À cette époque les tenants des méthodes géométriques et ceux des méthodes analytiques (calcul des variations) se confrontaient. Il avait trouvé une méthode qui montrait que toute courbe qui n'est pas un cercle peut être déformée en augmentant l'aire entourée sans modifier le périmètre. Manque la démonstration que la solution trouvée est optimale. Weierstrass Karl Weierstrass (1815-1897) s'appuie sur l'analyse fonctionnelle, dont il est un expert, pour démonter l'existence d'une courbe optimale, complétant ainsi la preuve de Steiner. Michael Hutchings, Frank Morgan, Manuel Ritoré et Antonio Ros En 2008, cette équipe de mathématiciens résout une conjecture: quelle est la surface minimale permettant d'envelopper dans l'espace de dimension k deux volumes donnés. Le cas de la dimension 3 avait été résolu en l'an 2000.

Voir Calcul des variations

ENGLISH CORNER
Among all planar shapes with the same perimeter the circle has the largest area. Among all planar shapes with the same area the circle has the shortest perimeter.

Suite	Isopérimètre Bissection de l'hexagone avec un cercle Problème et constante du sofa
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Site	Isoperimetric Parallelograms
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