NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 26/09/2010 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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DIVISIBILITÉ par 504

Avec trois nombres consécutifs.

Voir Règles générales

Identité du nombre 504

Facteurs	504 = 1 x 2^3 x 3^2 x 7 = 7 x 8 x 9
Diviseurs	1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 18, 21, 24, 28, 36, 42, 56, 63, 72, 84, 126, 168, 252, 504
Quantité	24
Somme	1 560
S - N	1 056 Nombre déficient

pair

composé

produit de trois nombres consécutifs

Voir Nom des nombres

Nombres géométriques

DIVISIBILITÉ par 504

Trois nombres consécutifs dont le central est un cube forment un produit divisible par 504.

Exemples

n	c – 1	c = n^3	c + 1	N = (c-1) c (c+1)	M = N / 504
2	7	8	9	504	1
3	26	27	28	19 656	39
4	63	64	65	262 080	520
5	124	125	126	1 953 000	3 875
6	215	216	217	10 077 480	19 995
7	342	343	344	40 353 264	80 066
8	511	512	513	134 217 216	266 304
9	728	729	730	387 419 760	768 690
10	999	1 000	1 001	999 999 000	1 984 125

Démonstration
Caractérisation de N Identité remarquable Ce qu'il faut démontrer	N = (n^3 – 1) n^3 (n^3 + 1) = n^3 (n^6 – 1) = n^2 (n^7 – n) N est divisible par 504 = 7 x 8 x 9 soit divisible par 7, par 8 et par 9.
Divisibilité par 8 = 2^3 Nombres consécutifs	Si n est pair alors n^3 est divisible par 2^3. Si n est impair alors son cube est impair et ses deux voisins sont pairs, de plus pairs consécutifs, donc l'un est divisible par 4; le produit des deux est divisible par 8.
Divisibilité par 7 7 est un nombre premier Petit théorème de Fermat	n^7 n mod 7 n^7 – n est divisible par 7. Or N = n^2 (n^7 – n) Alors N est divisible par 7.
Divisibilité par 9 n mod 3 = -1 ou 0 ou +1	Si n 0 mod 3, alors n^3 est divisible par 3^3 = 27 et a fortiori par 9. Si n 1 mod 3, alors n^3 – 1 = (n – 1) (n² + n + 1) et (n – 1) mod 3 = (0 – 0 ), ce facteur est divisible par 3; et aussi (n² + n + 1) mod 3 = (1+1+1) qui est divisible par trois. Le produit est divisible par 9. Si n – 1 mod 3, alors n^3 + 1 = (n + 1) (n² – n + 1) et (n + 1) mod 3 = (–1 + 1), ce facteur est divisible par 3; et aussi (n² – n + 1) mod 3 = (1+1+1) qui est divisible par trois. Le produit est divisible par 9.

Autre divisibilité par 504

(p³ - 1) (p³ + 1) = p⁶ - 1 est divisible par 504 ( p premier > 7 ).

Autrement dit:

Le produit d'un cube plus 1 par ce cube moins 1, est divisible par 504 si le nombre porté au cube est premier supérieur à 7.

Exemples

p	p^3	N = p^6 – 1	M = N / 504
2	8	63	0,125
3	27	728	1,444…
5	125	15 624	31
7	343	117 648	233,4…
11	1 331	1 771 560	3 515
13	2 197	4 826 808	9 577
17	4 913	24 137 568	47 892
19	6 859	47 045 880	93 345
23	12 167	148 035 888	293 722
29	24 389	594 823 320	1 180 205
31	29 791	887 503 680	1 760 920
37	50 653	2 565 726 408	5 090 727
41	68 921	4 750 104 240	9 424 810
43	79 507	6 321 363 048	12 542 387
47	103 823	10 779 215 328	21 387 332

Démonstration (semblable à celle-ci-dessus)
Caractérisation de M Identité remarquable Ce qu'il faut démontrer	M = (p^3 – 1) (p^3 + 1) = (p^6 – 1) M est divisible par 504 = 7 x 8 x 9 soit divisible par 7, par 8 et par 9.
Divisibilité par 8 = 2^3 Nombres consécutifs	p est impair, son cube est impair et les termes sont pairs, de plus pairs consécutifs, donc l'un est divisible par 4; le produit des deux est divisible par 8.
Divisibilité par 7 Petit théorème de Fermat Deuxième version	p^7-1 1 mod 7 Si p est premier avec 7, ce qui est toujours le cas, car p est lui-même premier. n^7 – n est divisible par 7. Or M = p^6 – 1 Alors M est divisible par 7.
Divisibilité par 9 n mod 3 = -1 ou 0 ou +1	Le cas p 0 mod 3, est à éliminer car p est premier. Si p 1 mod 3, alors p^3 – 1 = (p – 1) (p² + p + 1) et (p – 1) mod 3 = (0 – 0 ), ce facteur est divisible par 3; et aussi (p² + p + 1) mod 3 = (1+1+1) qui est divisible par trois. Le produit est divisible par 9. Si p – 1 mod 3, alors p^3 + 1 = (p + 1) (p² – p + 1) et (p + 1) mod 3 = (–1 + 1), ce facteur est divisible par 3; et aussi (p² – p + 1) mod 3 = (1+1+1) qui est divisible par trois. Le produit est divisible par 9.

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