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ORIENTATION GÉNÉRALE  - M'écrire - Édition du: 25/09/2005

 

-Ý- RUBRIQUE: Suite : DIVISIBILITÉ

Sommaire de cette page

 

>>> DIVISIBILITÉ d'une SUITE de nombres consécutifs

 

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-Ý- DIVISIBILITÉ d'une SUITE de nombres consécutifs

 

 

Règle

Une suite de " n " nombres consécutifs

S = Somme des nombres de la suite

Si n est impair

Si n est pair

est divisible par

S

2 S

n

S

S

n / 2

 

La somme de n nombres consécutifs est

 

divisible par n si n est impair

(et aussi, à fortiori, par n/2)

 

divisible par n/2 si n est pair

(autrement dit 2S est divisible par n)

 

 

 

Exemples

4,5,6

n = 3

4,5,6,7

n = 4

S = 15

S / n = 15/3 = 5

S = 22

S / (n/2) = 22/2 = 11

 

 

 

 

 

Démonstration

 

a est le premier nombre

n la quantité de nombres successifs

 

S = a + (a+1) + (a+2) + … + (a+n-1)

 

C’est une progression arithmétique

Somme = ½ (somme des extrêmes) x (taille de progression)

S = ½ (2a + n – 1) n

n = 2k + 1

n = 2k

S = ½ (2a + 2k + 1 – 1) n

S = (a + k ) n

S est divisible par n

S = ½ (2a + 2k – 1) 2k

S = (2a + 2k – 1) k

S est divisible par k = n/2

 

 

 

Travaux pratiques

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

a

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

S

 

3

6

10

15

21

28

36

45

55

2S/n

 

3

4

5

6

7

8

9

10

11

S/n

 

 

2

 

3

 

4

 

5

 

 

 

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

a

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

S

 

247

372

498

625

753

882

1012

1143

1275

2S/n

 

247

248

249

250

251

252

253

254

255

S/n

 

 

124

 

125

 

126

 

127

 

 

 

 

 

 

 

-Ý-