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Suites de FAREY et Arbre de Stern-Brocot C'est le
biologiste Farey qui classe les fractions
de dénominateur inférieur à un nombre donné par ordre croissant de valeur: 0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1 En
complétant les fractions pour arriver à 1/0, on obtient la suite de
Stern-Brocot: 0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1, 3/2, 2/1, 3/1, 1/0
par
des cercles de taille variable et, en
nombre infini du type fractal. |
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On liste
toutes les fractions de 0 à 1 avec le même dénominateur (ici, jusqu'à 8). |
Chaque
fraction p/q est encadrée par deux fractions n/d et N/D et, elle est telle
que:
Autre
propriété:
Exemple
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Voir Cercles de Ford
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À l'ordre 1, |
0
/ 1 et 1 / 1 |
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À l'ordre 2, |
0
/ 1; 1 / 2; 1
/ 1 |
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À l'ordre 3, Ce sont toutes
les fractions simplifiées
au maximum ayant un dénominateur inférieur à l'ordre et classées par ordre
croissant. |
Suite
de Farey à l'ordre 3
Remarquez que
les numérateurs comme des
dénominateurs sont la somme des deux du dessus. |
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Voir
Totient
d'Euler
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Chaque colonne
est une suite de Farey d'ordre n. En F3, on retrouve notre
exemple de la suite de Farey d'ordre 3.
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Fractions
nouvelles À l'ordre n, les fractions nouvelles ont toutes n pour dénominateur. |
Exemple Pour
3, on voit arriver les seules fractions: 1/3 et 2/3 |
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Une fraction nouvelle est liée à ses
deux voisines par addition des numérateurs et des dénominateurs
Construction On peut donc construire les suites
de Farey de cette manière: |
Exemples
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Dit
plus simplement: Les produits en croix donnent deux
nombres consécutifs 1/2 et 3/5 |
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Écart
entre termes successifs a' / b' – a / b =
(ba' – ab') / bb' = 1 / bb' L'écart est égal à
l'inverse du produit des
dénominateurs a' / b' –
a / b = 1 / bb' |
Exemples
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Comment trouver la fraction précédente
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Prenons
5/7: trouvez comment calculer x/y = 2/3, la fraction juste
précédente. Propriété
de ces deux fractions: 7x – 5y = 1. Il
faut donc résoudre l'équation de Bachet-
Bézout: 7x – 5y = 1. Les nombres
7 et 5 doivent être premiers
entre eux. Ce qui est le cas. Alors, il existe une infinité de solutions
dont une seule est minimale, celle que l'on cherche. La
recette est la suivante (algorithme
d'Euclide):
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La partie gauche représente l'arbre
de Farey et la totalité du graphe, l'arbre de
Stern-Brocot.
L'arbre se poursuit sans fin. Il
produit des fractions irréductibles
qui représentent tous les nombres rationnels. |
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Voir Diagonale de Cantor / Phyllotaxie géométrique
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On prend toutes les fractions de
l'ordre 10, soit 31 fractions. Cet écart a été dilaté par 10. La
courbe est symétrique. La moyenne de l'écart est positif (0,1290). Illustration La suite de Farey (en jaune) fluctue
(légérement) autour de la progression linéaire (en noir) Cet écart (dilaté par 10) est montré
sur la courbe en rose. |
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Approche Comment placer racine de 2 sur 2 dans la suite de Farey
d'ordre 4 , par exemple, et ainsi obtenir
deux fractions encadrant cette valeur? |
Avec
la suite de Farey d'ordre 4
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Précision Comment encadrer Pi / 4 avec une précision donnée? |
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Algorithme 1) Premières fractions de Farey en
min max et calcul de la fraction intermédiaire par ajout des numérateurs et
des dénominateurs; elle placée dans la colonne "nouvelle". 2) Placer oui ou non dans les
colonnes. Le oui indique que la valeur à approximée est entre la nouvelle et
l'ancienne (ligne 1: 1/2 < 0,785… < 1/1) 3) Placer les nouvelles fractions en
min et max et recalculer la fraction intermédiaire (ligne 2: 1/2 et 1/1 donne
(1+1) / (2+1) = 2/3.
À ce niveau de calcul nous obtenons:
Note: la fraction en
rouge 11/14 donne, en multipliant par 4: |
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Une réduite est une meilleure approximation que celle
obtenue par une suite de Farey. Néanmoins les suites de Farey sont utilisées
notamment, dans les calculs des calendriers. |
Voir
Ces
rubriques donnent les fractions continues et les fractions de Farey pour
toutes ces valeurs du cycle des astres. |
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Suite |
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Voir |
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Sites |
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