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	Dérivées	Polynôme	Hôpital	x .ln (x)
	Limite avec ln	Sin x / x et tan x / x
		Sommaire de cette page >>> Limite de sinus x / x >>> Démonstration >>> Limite de tangente x / x

Limites en sinus et tangente

Comment démontrer certaines limites de fonctions en associant la géométrie et la trigonométrie. Simple et efficace, encore fallait-il en avoir l'idée.

Notez en passant l'interprétation et la comparaison géométriques de sinus, arc et tangente.

Limite de sinus x / x au voisinage de 0
Démontrez que:
Cette propriété est bien connue: Notez le bien. Elle sert très souvent.	Pour les petits angles, le sinus est voisin de l'angle lui-même, exprimé en radians.
Illustration Pour 30°, l'écart est de 2,3 centièmes et pour 10° cet écart fond à moins de 1 /1000^e.

Démonstration
Figure Bleu: le cercle trigonométrique (rayon unité). Rouge: les triangles rectangles symétriques OCA et OCB, dont les angles en O valent x (en radians). Vert: les deux tangentes au cercle en A et B. Relations (explication) L'arc AB = 2x Note Alors, pour la suite, on prend x positif. Le cas négatif est identique.
Démo Comparons les longueurs	On accepte visuellement que la longueur de l’arc AB est moindre que la somme des longueurs de AD et DB. Cette relation est confirmée en dessinant la tangente EF qui est manifestement plus grande que l'arc AB. Le dévelopement en série "prouve" également cette relation: Cependant l’utilisation du développement en série est un argument circulaire, puisque les dérivées de sinus viennent de ce résultat.
Découplons les égalités deux à deux
Remise en relation
Lorsque x tend vers 0, le cosinus grimpe vers 1	sinus x / x se trouve en sandwich entre 1 et une valeur dont la limite est 1, il tend lui-même vers 1.

Merci à Élie Bouscatié pour ses remarques

Pour information, développement en série de sinus et de tangente

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Limite de tangente x / x
Démontrez que:
Développons :
Passage à la limite: Rappel: cos 0 = 1.
Comparaison de l'écart en x, son sinus et sa tangente pour des petits angles (en millièmes) Pour 10°, Esinus = 0,88 10^-3 et Etangente = -1,79 10^-3.

Bilan

Jusqu'à 5°, voire 10°, on peut assimiler le sinus et la tangente à la valeur de l'angle exprimé en radians:

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Voir	Limite – Glossaire Dérivées
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