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INDEX Topologie	Sommaire de cette page >>> Principe de la transformation >>> Transformation du boulanger >>> Transformation photomaton

Principe de la transformation

Pâte feuilletée: Imaginons un pâtissier qui étend sa pâte et la plie, la roule à nouveau, etc. Une figure dessinée sur la pâte initiale va se couper, se déformer. Un point, par référence à un autre va se déplacer. La vitesse de déplacement est mesurée par les exposants de Lyapunov. Illustration: On a simplifié le processus en étirant la pâte dans une seule dimension et, on garde des surfaces constantes. Dans cet exemple, on aura deux coefficients: l'un pour la vitesse de séparation horizontale et l'autre pour celle verticale. Généralisation: Cet exemple de la pâte feuilletée illustre la marche des phénomènes chaotiques dont la principale caractéristique est d'être sensible aux conditions initiales: des points voisins peuvent subir des aventures totalement différentes. Évidemment, cet exemple à deux dimensions peut être généralisé à n dimensions.

Transformation du boulanger

C'est la même que ci-dessus, avec retournement de la partie qui vient en dessous:

Avec une découpe de la figure initiale en 256 x 256 cellules et un traitement par ordinateur, si on applique la transformation 17 fois on retrouve la figure initiale.

Avec une taille différente, le cycle serait différent.

Taille			Cycles
16	x	16	9
18	x	18	15 300
20	x	20	1 244 880
240	x	160	27 720 023 335 722 958 656
256	x	256	17

Lorsque les cycles sont grands, on peut voir apparaître l'image floue pour certaines valeurs dans le cycle.

Exemple avec la pomme: ERGODICITÉ

En itérant un grand nombre de fois la transformation du boulanger, on observe que les points d’une partie A donnée au départ semblent se répartir uniformément dans tout le carré :

Départ: si A est de surface 1/4, et si on se fixe une fenêtre B dans le carré,

Arrivée: les points occupent environ 1/4 de B si la quantité d'itérations est grande.

Cette propriété porte le nom de mélange.

La transformation du boulanger est souvent citée comme un exemple permettant de comprendre ce qu'est la théorie ergodique.

En effet, et en gros, la théorie ergodique c'est cela: vous avez un espace et une transformation que vous appliquez sans cesse. La question est de savoir si l'espace va devenir en quelque sorte homogène selon une définition à préciser.

Source image: Théorie ergodique – Introduction et premiers exemples – T. de la Rue

Transformation photomaton

Avec une image de résolution n, on forme 4 images de résolution n/4.

Là aussi, on observe un retour à l'image initiale après un nombre donné de transformations. 

Taille			Cycles
16	x	16	4
18	x	18	8
20	x	20	16
240	x	160
256	x	256	8

Suite	Fractal
Voir	Morphisme Homothétie Théorème de Thalès Topologie – Index
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