Orientation Glossaire	Atlas / Géométrie / Transformation / Similitude
Débutant DicoMot DicoNombre	HOMOTHÉTIE

Approche	Ce mot compliqué est, en fait, un synonyme de changement d'échelle. C'est la transformation d'une figure en réduisant ou augmentant toutes les mesures dans une proportion donnée. Sorte de zoom de centre O et de rapport k. Agrandissement et réduction sont des homothéties.	Voir Homothétie – Débutant
Définition	Homothétie: un point O du plan et k un réel, on appelle homothétie de centre O et de rapport k, la transformation qui à tout point M du plan associe le point M’ tel que

Types

Avec k > 1, l’homothétie est un agrandissement (zoom-avant); Avec k = 1, l’homothétie est l’identité I (lettre grand I); Avec k < 1, l’homothétie est une réduction (zoom-arrière); Avec k = - 1, l’homothétie est la rotation de centre O et d’angle , appelée symétrie centrale de centre O. Voir Symétrie

Propriétés

Si M’est l'image de M dans une homothétie de centre O, les points M, O et M' sont alignés. L'homothétie de centre O, de rapport k 1 admet un seul invariant, le point O. Pour qu'une application (transformation) soit une homothétie de rapport k 0 et 1, il faut et il suffit que tout coupe de points (A, B) se transforme suivant un couple de points (A', B') tel que L'homothétie est une isométrie: L'image d'une droite D est une droite D' parallèle à D. L'homothétie conserve les angles. L'homothétie conserve les parallèles; c'est une similitude sans rotation. L'homothétie conserve le type de figure: un carré reste un carré, un cube reste un cube, etc. L'homothétie conserve le barycentre Pour deux figures homothétiques dans un rapport k: Les longueurs sont multipliées par k, Les aires par k², et Les volumes par k^3. Dans le cas du cercle ou de la sphère, le centre-image est l'homothétique du centre du cercle d'origine.

Similitude et homothétie

Triangle origine Similitude directe Similitude indirecte Homothétie avec centre sur la figure (simple grossissement) Homothétie avec centre hors de la figure (grossissement plus glissement) Les triangles sont dits semblables Voir Exemple avec le triangle des médianes

Composées

La composée de deux homothéties de rapport k et k' est une translation si k.k' =1, ou alors une homothétie de rapport k.k' La composée d'une homothétie de rapport k et d'une translation est une homothétie de rapport k; cette transformation composée est appelée dilatation L'ensemble des dilatations muni de la loi de composition des transformations est un groupe. La composée d'une homothétie et d'un déplacement est une similitude directe.

Famille

L'homothétie est une application affine bijective. Application Bijection Transformation Similitude Homothétie Voir Théorème de Thalès, similitude

Exemple d'application avec le théorème de Pythagore

Démonstration visuelle de l'inverse du théorème de Pythagore Triangle rectangle du haut: le cas classique du théorème de Pythagore. Toutes les mesures sont divisées par ab pour obtenir le triangle rectangle du bas. Le théorème de Pythagore s'applique aux nouvelles mesures. La relation ah = bc qui donne h en fonction de a, b et c dans le triangle rectangle complète l'égalité.

Deux triangles semblables dans un rapport 1/ab

Voir Démonstration de l'inverse du théorème de Pythagore

Anglais	Dilatation: a dilatation of the plane from O with scale factor c (c 0) is the transformation of the plane in which the origin O is mapped to itself and a point P is mapped to the point P', where O, P and P' are collinear and OP' = c.OP. This is given in terms of Cartesian coordinates by x' = c.x and y' = c.y Note: attention au sens de dilatation en français
En savoir plus	Voir suite en cliquant sur les mots en haut de page Anamorphose DicoMot Éléments de géométrie Fractales Géométrie – Index Théorème de Thales Transformation du boulanger Trapèze et homothétie Triangles semblables
Sites	Transformations – Wikipédia L'homothétie – à la découverte des (Hyper)complexes, des fractales Et de la théorie du Chaos.

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