NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 11/03/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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CONJECTURE DE CATALAN

ou Équation de Catalan

ou Problème de Catalan

Deux nombres consécutifs ne sont jamais des puissances exactes, sauf 8 et 9.

ou, autre formulation: les seuls puissances parfaites consécutives sont 8 et 9.

Conjecture émise par Eugène Catalan en 1844:

x^m – yⁿ = 1 <=> 3² – 2³ = 1

Théorème démontré par Preda Mihailescu en 2002.

2² = 3¹ + 1 : Ce cas trivial est sans intérêt du fait de la puissance 1.

3² = 2³ + 1 : Seul cas de nombres, puissances consécutives

Seul un couple de nombres est connu avec un écart égal à 2. on conjecture que c'est le seul cas.

x^m – yⁿ = 2 <=>? 3³ – 5² = 2

Anglais

Catalan conjecture

In 1844, Catalan asserted that, among all powers of whole numbers,

the only pair of consecutive numbers that arises is 8 and 9.

CONJECTURE

Problème de Catalan

Recherche des nombres consécutifs

tout en étant des puissances parfaites.

3^2	–	2^3	=	1	Seul cas connu de puissances consécutives
9	–	8	=	1
x^m	–	y^n	=	1	Autrement dit: Cette équation n'a qu'une seule solution. C'est la conjecture de Catalan (1844). Prouvée en 2002.

Suite ordonnée

des nombres x ⁿ

4	8	9	16	25	32	36	49
2²	2^3	3²	4²	5²	2^5	6²	7²

64	81	100	121	125	128	…
8²	9²	10²	11²	5^3	2^7

Voir Séquence de nombres

Seuls 8 et 9 sont des nombres - puissances consécutifs.

Existent-ils d'autres puissances parfaites consécutives?

Autrement dit

Quelles sont les solutions de

x^m – yⁿ = 1

On ne connaît pas de solutions. Mais le nombre de solutions est fini.

On sait aussi que m > 60, mais à moins de 25 chiffres. On sait également que les exposants doivent être une paire de Wieferich.

La démonstration a été donnée en 2002 par Preda Mihailescu

Cas de trois puissances

x^m

,

y^n

et

z^p

Ne sont jamais des nombres consécutifs Démontré par W.J. Lévèque (1952)

EXPLORATION

Nombres -Puissances égaux

x^m – yⁿ = 0

Il en existe une infinité

Dans tous les cas y est divisible par x

Le cas des puissances unitaire est trivial

2^2= 4^1= 2^3= 8^1= 3^2= 9^1= …	4 8 9
2^4= 4^2= 2^6= 4^3= 2^6= 8^2= 4^3= 8^2= 3^4= 9^2= 2^8= 4^4= 2^9= 8^3= 3^6= 9^3= 2^10= 4^5= 4^6= 8^4= 3^8= 9^4= 3^10= 9^5= 4^9= 8^6= …	16 64 64 64 81 256 512 729 1 024 4 096 6 561 59 049 262 144

Nombres -Puissances successifs

x^m – yⁿ = 1

Il existe une infinité de cas en admettant la puissance 1.

Même si on élimine le cas particulièrement trivial des nombres successifs (3¹ = 2¹ + 1).

Pour x, m, y, n jusqu'à 10, il y a 25 telles présentations; il y en a 140 avec x et y allant jusqu'à 100.

Seul le cas 9 = 8 + 1 se distingue.

2¹ = 1¹ + 1

2¹ = 1² + 1

2¹ = 1³ + 1

…

3¹ = 2¹ + 1

4¹ = 3¹ + 1

5¹ = 4¹ + 1

…

2² = 3¹ + 1

5¹ = 2² + 1

6¹ = 5¹ + 1

7¹ = 2³ + 1

8¹ = 3² - 1

9¹ = 2³ + 1

10¹ = 3² + 1

…

3² = 2³ + 1

9 = 8 + 1

Nombres – Puissances avec écart de 2

x^m - yⁿ = 2

Pour x < 1000¹⁰⁰ , il y a 1 seule présentation.

3³ = 5² + 2

27 = 25 + 2

Conjecture: C'est la seule solution connue. On conjecture que c'est la seule. La démonstration semble très coriace!

Bilan - Nombres -Puissances

x^m - yⁿ = E

Seuls cas jusqu à 100¹⁰ .

Et, sans doute seuls cas (?)

On trouve 75 paires de puissances ayant un écart inférieur à 100.

Ce qui est peu.

Vu en 1 3² - 2³ = 9 - 8 = 1

Vu en 2 3³ - 5² = 27 - 25 = 2

Nouveaux 2⁷ - 5³ = 128 - 125 = 3

2³ - 2² = 8 - 4 = 4

6² - 2⁵ = 36 - 32 = 4

5³ - 11² = 125 - 121 = 4

2⁵ - 3³ = 32 - 27 = 5

2⁴ - 3² = 16 - 9 = 7

5² - 4² = 25 - 16 = 9

15² - 6³ = 225 - 216 = 9

13³ - 3⁷ = 219 - 2187 = 10

HISTORIQUE
vers 1320	Levi ben Gerson 1288 - 1344	Démontre que Parmi les carrés et les cubes seuls 8 et 9 sont consécutifs.
vers 1750	Leonhard Euler 1707 - 1783	Démontre que Si x^2 – y^3 = ±1 alors x = 3 et y = 2
1844	Eugène Catalan 1814 - 1894	Émet la conjecture: Parmi les puissances, seuls les nombres 8 et 9 sont consécutifs.
1850	Victor Lebesgue 1875 - 1941	Démontre que Un carré ne suit jamais immédiatement une puissance.
1921		Il est démontré que Une puissance ne succède jamais à un cube x^3 - 1 = y^n est impossible pour n > 1
1932		Il est démontré que Une puissance ne succède jamais à un bicarré x^4 - 1 = y^n est impossible.
1940		Il est démontré que Une puissance ne succède jamais à un carré x^2 - 1 = y^n est impossible.
1964	Ko Chao	Démontre que Un carré ne précède jamais immédiatement une puissance x^2 + 1 = y^n est impossible.
1976	Robert Tijdeman (NL)	Démontre que Parmi les puissances, seule une quantité finie de nombres sont consécutifs. Mais cette limite est astronomique: il n'est pas possible d'explorer toutes les possibilités par ordinateur. Cette limite vaut x^n avec · x= {(10^10)^(10^10) }^300 et · n = 10^106 · ou e^e^e^e^730
	Hyyrö Makowski	Démontrent que Il n'existe pas trois puissances consécutives.
2001	Maurice Mignotte Université Louis Pasteur Strasbourg	Contribue à réduire cette limite. Elle reste malgré tout de l'ordre de 10^(10^17). Précisément: · 10^7 <m < 7,15 x 10^11 et · 10^7 < n < 7,78 x 10^16 Toujours trop de cas à examiner.
1998	Yann Bugeaud Guillaume Hanrot	Explore la voie algébrique en utilisant les nombres cyclotomiques.
2000	Preda Mihailescu (1955-)	Avec en poche son doctorat portant sur la cyclotomie. Il assiste aux conférences de Guillaume Hanrot. Et montre quelque temps plus tard que les exposants des puissances ne peuvent être que des paires de Wieferich. On n'en connaît que 6. Les (super) ordinateurs se mettent en route pour en rechercher d'autres.
2002	Preda Mihailescu	Démontre la conjecture. En basant son travail sur les propriétés des nombres cyclotomiques. Tout en mettant à contribution une méthode par exploration, élimination. Le papier déposé en avril comprend un exposé explicatif de Yuri Bilu (Université de Bordeaux). Il est en cours de publication.

Abstract du papier de Preda Mihailescu

Catalan's conjecture states that the equation x^p - y^q = 1 has no other integer solutions but 3² - 2³ = 1.

Based on a classic result of Cassels and our recent consequence, that p, q must verify a double Wieferich condition if the equation has integer solutions for odd p, q,

we show that the existence of such a solution produces an excess of q-primary cyclotomic units.

This fact leads to a contradiction which proves Catalan's conjecture.

PAIRES DE WIEFERICH

Il a été prouvé que les exposants de l'équation de Catalan
x^m – yⁿ = 1 doivent être des paires de Wieferich.

Paire de Wieferich: deux nombres premiers m et n tels que:

m^(n-1) = 1 mod n²

n^(m-1) = 1 mod m²

Ces nombres sont très rares:
Six paires sont connues aujourd'hui:

2	1 093
3	1 006 003
5	1 645 333 507 188 748 146 801
83	4 871
911	318 917
2 903	18 787

Pour donner une idée des calculs voyons le cas
m = 2 et n =1093:

m^(n-1) = 2^1092 = 0,53 10^329	m^(n-1) mod n² = 0,53 10^329 mod 1093² = 1
n^(m-1) = 1093^1	n^(m-1) mod m² = 1093 mod 4 = 1

Anglais: Wieferich prime

Suite	Nombres de Catalan
Voir	Conjecture – Glossaire Conjecture ABC Différence entre puissances Dénombrer – Index Équations diophantiennes – Glossaire Puissances Théorème de Fermat -Wiles
DicoNombre	Nombre 8 Nombre 9
Sites	Équation de Catalan par Serge Mehl Draft Proof of Catalan's Conjecture Circulated par Eric Weisstein Science news on line Conquering Catalan’s Conjecture par Ivars Peterson Study work on line pour liste d'autres références en particulier: Preda Mihailescu, Home page
Livre	Science & Vie de septembre 2002 Il a démontré la conjecture de Catalan par Hervé Poirier
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/TYPDENOM/Catalan/CataConj.htm