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NOMBRES MINIMAUX ou inévitables Exploration en théorie des
nombres: ensemble de nombres tel que tous les autres nombres s’y
retrouvent parmi leurs chiffres. On cherchera, par exemple, l’ensemble minimal des nombres premiers ou des
nombres composés, en base 10 ou autres bases, ... La surprise : ces ensembles minimaux sont
finis ! Quantité limitée de nombres. Exemple avec les mots et les
lettres : Supposons que l’ensemble minimal des mots
contienne le mot {..., AMI, ...}, alors les mots {AMIE, AMIS, AMIES} comporte
"AMI" et ne font donc pas partie de l'ensemble minimal. Ce sera le
cas également des mots {MAMIE, GAMIN, TATAMI, MATHÉMATIQUE, ARITHMÉTIQUE,
ÉLECTRODYNAMIQUE ...} qui ne feront pas partie de l’ensemble minimal car on
peut y retrouver le mot AMI. Il suffit d’effacer des lettres pour retrouver
le mot ami avec ses lettres dans le bon ordre. |
Anglais:
Minimal
prime, minimal composite number
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Définition Ensemble minimal
de nombres
premiers tels qu’aucun nombre premier ne contienne dans ses chiffres,
pris dans l’ordre, un premier de l’ensemble. Anglais : Every prime number, when written in base ten, has one
of the minimal primes as a substring. |
Auteur Notion
introduite en 2000 par Jeffrey Shallit de l'Université canadienne de
Waterloo. Propriété L’ensemble
minimal des nombres premiers est un ensemble fini. Il compte 26 nombres. Propriété
démontrée par M. Lothaire, un collectif français de spécialistes en
combinatoire. |
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Construction Prenons la liste
des nombres premiers successifs :
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2, 3, 5,
7, 11, 13, 17,
19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,
73, 79, 83, 89, 97, 101 … Liste des 26 nombres premiers minimaux 2, 3, 5,
7, 11, 19, 41, 61, 89, 409, 449, 499, 881, 991, 6469, 6949, 9001, 9049, 9649,
9949, 60649, 666649, 946669, 60000049, 66000049, 66600049. Certains remarqueront la présence persistante du nombre 666. |
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Conséquence Pour tout nombre
premier, il est possible d’effacer certains chiffres, ou aucun, et retrouver
un nombre premier de la liste minimale. |
Exemple d’appartenance ou non avec les premiers de 409 à 449. 409 :
4, 9, 40, 49 ne sont pas premiers et ne sont donc pas dans la liste minimale. 419: 41 est dans la liste; non sélectionné pour
faire partie de la liste. 421: 4, 2, 1, 42, 41, 21 avec 41 dans la liste
minimlae, il est rejeté. 431,
433, 439, 443 avec
présence du 3, ils sont tous éliminés. 449: 4, 9, 44, 49 ne sont pas premiers. Candidat
retenu pour la liste minimale. |
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Il y a
exactement 32 nombres composés qui n'ont pas de sous-suite composée plus
courte. Tout nombre
composé contient dans ses chiffres au moins un des éléments de cet ensemble
et c’est l’ensemble le plus petit. |
Liste des 32 nombres composés minimaux 4, 6, 8,
9, 10, 12, 15, 20, 21, 22, 25, 27, 30, 32, 33, 35, 50, 51, 52, 55, 57, 70,
72, 75, 77, 111, 117, 171, 371, 711, 713, 731. Exemple de nombres composés 111:
aucun nombre (1 ou 11) déjà dans la liste: retenu 112: avec
le 12, ce nombre est rejeté de la liste minimale. 113 est
un nombre premier 114: avec
son 4, il est rejeté. |
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On dit qu’une
chaine de symboles (s) est minimale dans un langage L si s est un membre de L
et s’il n’est pas possible d’obtenir un autre membre de L par effacement d’un
ou plusieurs symboles de s. |
On sait
que l’ensemble minimal est fini. En
revanche, son calcul n’est pas toujours facile. |
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Curieux
de constater que ces ensembles sont finis. Pourtant, un théorème connu
stipule que tout ensemble de chaines de caractères incomparable deux à deux
est fini. Et, cette propriété reste
valable dans de nombreux cas :
Voir les références
Internet pour en savoir plus. |
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