collection de nombres, premiers comprenant des combinaisons de premiers

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 27/09/2023 Orientation générale DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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NOMBRE PRIMEVAL

Ou nombre primitif

Sorte d’anagramme avec les nombres : quels sont mots possibles à partir des lettres d’un mot donné ? Exemple avec le mot premier : empire, pierre, prier, père, mère, émir, pie ...

Avec les nombres, le principe consiste à extraire les K nombres premiers d’un nombre donné à partir des permutations de tout ou partie de ses chiffres. Un nombre primeval est celui dont K est plus grand que celui de tous les nombres inférieurs (le K record).

Voir Types de nombres Multi-Premier – Anagrammes des nombres

Types de primeval

Nombres COMPOSÉS

Nombres PREMIERS

Kc = Arrangements premiers

Kp = Arrangements premiers

Kc Record

=> PRIMEVAL composé

Kp Record

=> PRIMEVAL premier

Anglais: Primeval numbers

Primeval signifie : qui appartient aux premiers âges. De primus premier et aevum, âge.

Nombre PRIMEVAL de Mike Keith

Définition

Propriété d'un nombre à inclure des nombres premiers parmi la combinaison de certains de ses propres chiffres.

Un peu comme les anagrammes pour les lettres des mots.

Les nombres premiers obtenus utilisent exactement les chiffres du nombre d’origine (même quantité).

K est la quantité d’arrangements premiers extrait d’un nombre n.

Un nombre n est primeval si son K est plus grand que celui de tous les nombres inférieurs.

Exemples

246 n'est pas primeval

Le nombre premier 13 avec les trois nombres premiers 3, 13, 31 est un candidat primeval à condition que son K soit supérieur au K des nombres premiers jusqu’à 13. C’est effectivement le cas. Il est Primeval

1237 est très primeval en contenant 14 nombres premiers. C’est le plus petit premier avec K = 14. Il est Primeval.

Rappel

Les nombre 0 et 1 ne sont pas premiers.

Exemples des nombres premiers primevals

Les premiers nombres et leur propriété primevale

N	Premiers dans N	Quantité K
1		0
2	2	1
3	3	1
4		0
5	5	1
6		0
7	7	1
8		0
9		0
10		0
11	11	1
12		0
13	3, 13, 31	3
14	41	1
15	5	0
*...*
37	3, 7, 37, 73	4

On note (en gras rouge), la progression du record primeval (K).

Nombres premiers primevals

N	K	Primeval
2	1	1
13	3	3
25	2
37	4	4
107	5	5
113	7	7
127	6
137	11	11
167	8
179	10
1013	14	14
1027	9
1036	12
1037	19	19
1079	21	21
1123	18
1127	13
?	15
1135	16
1136	17
1139	20

1 237		26
1 367		29
1 379		31
10 079		33
10 123		35
10 136		41
10 139		53
10 237		55
10 279		60
10 367		64
10 379		89
12 379		96
13 679		106

Exemple complet avec 1237 & 1 379

Quels sont les arrangements des chiffres 1, 2, 3, 7 pris par 1, par 2, par 3 et par 4?

Arrangements de p articles parmi n :

A_n^p = n! / (n – p)! =

n (n – 1) (n – 2) ... (n – p + 1)

Cas	n	p	n - p +1	Formule	Résultat
1 parmi 4	4	1	4	4	4
2 parmi 4	4	2	3	4 x 3	12
3 parmi 4	4	3	2	4 x 3 x 2	24
4 parmi 4	4	4	1	4 x 3 x 2 x 1	24
				Total	64

Les 64 arrangements et identification des 26 premiers

1
2
3
7
12	21
13	31
17	71
23	32
27	72
37	73
123	132	213	231	312	321
127	172	217	271	712	721
137	173	317	371	713	731
237	273	327	372	723	732
1237	1273	1327	1372	1723	1732
2137	2173	2317	2371	2713	2731
3127	3172	3217	3271	3712	3721
7123	7132	7213	7231	7312	7321

Cas de 1379 avec 31 premiers

3, 7, 13, 17, 19, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 137, 139, 173, 179, 193, 197, 317, 379, 397, 719, 739, 937, 971, 1973, 3719, 3917, 7193, 9137, 9173, 9371.

Listes de primevals
Primevals jusqu’à 10¹¹	2, 13, 37, 107, 113, 137, 1013, 1037, 1079, 1237, 1367, 1379, 10079, 10123, 10136, 10139, 10237, 10279, 10367, 10379, 12379, 13679, 100279, 100379, 101237, 102347, 102379, 103679, 123479, 1001237, 1002347, 1002379, 1003679, 1012349, 1012379, 1023457, 1023467, 1023479, 1234579, 1234679, 10012349, 10012379, 10023457, 10023467, 10023479, 10034579, 10123457, 10123469, 10123579, 10123679, 10234567, 10234579, 10234679, 12345679, 100123379, 100123457, 100123469, 100123579, 100123679, 100233479, 100234567, 100234579, 100234679, 101234567, 101234579, 102334679, 102345679, 1000234579, 1000234679, 1001233469, 1001233579, 1001233679, 1001234567, 1001234579, 1002334679, 1002345679, 1012345678, 1012345679, 1123456789, 10001234579, 10002334679, 10002345679, 10012234579, 10012234679, 10012334579, 10012345678, 10012345679, 10122345679, 10123345679, 10123456789, 100012345678, 100012345679, 100112345678, 100112345789, 100122345679, 100123345679, 100123456789, 101233456789, 101234567789.... Voir OEIS A072857 /
Primevals composés	2, 13, 37, 107, 113, 137, 1013, 1237, 1367, 10079, 10139, 12379, 13679, 100279, 100379, 123479, 1001237, 1002347, 1003679, 1012379, ... Voir OEIS A119535

Voir Produits de nombres premiers – Tables

73, le plus grand super primeval
3, 7, 37 et 73 sont premiers	Le nombre 73 est le plus grand nombre tel que toutes les permutations de tout ou partie de ses chiffres sont des nombres premiers. Anglais : 73 is the largest integer with the property that all permutations of all of its substrings are primes.
Démonstration On vérifie un à un que c’est le cas pour les nombres à deux chiffres et les nombres à trois chiffres. Avec un nombre quatre chiffres, on note le reste de la division par 3 de chaque chiffre (tableau). Si 2 restes (ou plus) sont à 0, disons a et b, le nombre ab est divisible par 3. Si un des restes est nul, disons a, le nombre a est divisible par 3. Si un des restes vaut 1, et deux autres valent 1 et 2, disons b et c, alors le nombre bc est divisible par 3 Si un des restes vaut 1 et les trois autres valent 2, disons b, c et d, alors le nombre bcd est divisible par 3. Conclusion : avec quatre chiffres, il est impossible d’éviter un nombre composé en prenant toutes les arrangements des chiffres.		00cd 0bcd 1111 1112 1121 1122 1222 1221 1212 1211

Nombre k-primeval

Un nombre k-primeval contient tous les nombres premiers de k chiffres

k	*Premiers*		*Plus petit k – primeval premier*
1	2, 3, 5, 7		2 357
2	11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97		1 123 465 789
3	...		10 112 233 445 566 788 997
4		100 111 222 333 444 555 666 777 998 889
5		1 0₃1₃2₄3₄5₄6₃7₃8₀ 98889899
6		1 0₄1₄2₄3₅5₅6₅7₅8₅9₄ 98889899
...

Anglais

Primeval Numbers: integers containing many embedded primes.

Voir	Nombres premiers – Index Nombres à motifs – Index Nombres plaqués Nombres premiers permutables Nombres premiers minimaux
Voisins	Nombres divisibles résistants Motifs itératifs
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DicoNombre	Nombre 73 Nombre 1 379 Nombre 2 357 Nombre 10 079
Sites	Nombres primitifs – Wikipédia Primeval numbers – Mike keith – 1998 Primeval numbers – The Prime Glossary – Chris Caldwell Primeval numbers – Numbers Aplenty OEIS A072857 – Primeval numbers: numbers that set a record for the number of distinct primes that can be obtained by permuting some subset of their digits.
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/primeval.htm