NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Types de Nombres

 

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Premiers

NOMBRES PREMIERS

 

Glossaire

Premiers

 

 

INDEX

 

Premiers

Type de premiers

 

Nombres

 

 

Premier

Sophie Germain

Premier sûr

Premiers de Chen

Luhn

 

Sommaire de cette page

>>> Sophie Germain – Biographie

>>> Nombres premiers de Sophie Germain (2p + 1)

>>> Liste

>>> Premiers cousins (2p – 1)

 

 

 

 

Marie-Sophie Germain (1776 – 1831)

*      Sophie germain: première mathématicienne française.

Autodidacte, apprend seule à partir des cours de l'École polytechnique.

Correspond avec Carl Friedrich Gauss d'abord sous un pseudonyme.

 

*      Sa notoriété en bref:

Contribue à faire avancer la démonstration du grand théorème de Fermat.

Recherche sur la théorie des surfaces élastiques.

Prix de l'Académie des sciences en 1815.

Invitée aux séances de l'Académie des sciences.

Démonstrations sur la théorie des nombres, dont certaines portent toujours son nom.

 

 

Sophie Germain est la première mathématicienne française et pourtant, très peu la connaissent. Elle découvre les mathématiques en 1789, elle a 13 ans, elle vit à Paris, au cœur des événements révolutionnaires qui la contraignent à rester cloîtrer chez elle. Parce qu’elle s’ennuie, parce qu’elle a peur, Sophie cherche un livre pour se changer les idées et tombe sur l’Histoire des mathématiques de Montucla. C’est une révélation !

Elle apprend les maths seule, en cachette, et plus tard, grâce à un pseudo masculin, elle obtient les cours de Polytechnique dont l’entrée est alors interdite aux filles. En 1816, elle devient la première femme admise aux séances de l’académie, elle découvre également une certaine catégorie de nombres premiers qui portent son nom.

Sophie Germain s’est éteinte à l’âge de 55 ans, d’un cancer du sein. Elle est enterrée au Père Lachaise, et sa tombe n’est pas facile à trouver. Un prix et un théorème portent son nom, mais elle n’a pas encore la postérité qu’elle mérite. D'après le livre en référence.

Eut-elle été un homme sa plaque funéraire n'aurait pas été si sobre! "Ici repose Mademoiselle Marie-Sophie Germain".

 

Voir Identité de Sophie Germain (4e degré)

 

 

Théorèmes de Sophie Germain

 

*      Si n > 2 est premier, ainsi que 2n + 1,

Alors xn + yn = zn implique que

l'un des nombres (x, y ou z) est divisible par n.

 

*      Si p impair et 2p + 1 sont premiers
xp + yp = zp n'admet aucune de solutions

si xyz n'est pas divisible par p.

 

 

 

Nombres premiers de Sophie Germain

 

Famille

Nombre / Diviseurs / Multiplicatif / Premiers

 

… / Types de nombres premiers et cousins

Définitions

NOMBRES PREMIERS DE SOPHIE GERMAIN

 

*    Nombre premier tel que son double plus un est aussi premier.

p et 2p + 1 sont premiers.

Le nombre 2p + 1, associé à un premier de Sophie Germain est un nombre premier sûr (safe prime).

Exemple

11 et 2 x 11 + 1 = 23 sont tous deux premiers.

Séquence

*    Une séquence (chaîne de Cunningham)  apparaît lorsque le nombre associé est lui-même un nombre premier de Sophie Germain.

Exemple de séquence à cinq termes:

2, 2x2+1 = 5, 2x5+1 = 11, 2x11+1 = 23, 2x23+1 = 47

 

*    Ces nombres sont dits du premier type (en p, 2p + 1). Ceux du second type sont en p et 2p – 1.

Propriétés

*    Vers 1825, Sophie Germain prouva que le grand théorème de Fermat est vérifié pour de tels nombres premiers.

Anglais

*    Sophie Germain prime numbers.

 

Listes

 

 

Nombres premiers de Sophie Germain  jusqu'à 1000

          Valeurs de p et de 2p +1
                   p est un premier de Sophie Germain.

                   2p + 1 est un premier sûr.

 

 

2, 5

3, 7

 5, 11

11, 23

23, 47

29, 59

41, 83

 

53, 107

83, 167

89, 179

113, 227

131, 263

173, 347

 

 

179, 359

191, 383

233, 467

239, 479

251, 503

281, 563

 

293, 587

359, 719

419, 839

431, 863

443, 887

491, 983

 

509, 1019

593, 1187

641, 1283

653, 1307

659, 1319

683, 1367

 

719, 1439

743, 1487

761, 1523

809, 1619

911, 1823

953, 1907

 

 

 

Nombre premiers de Sophie Germain en séquence

dite chaîne de Cunningham (du premier type)

 

 

Séquence de 3 au moins

1

2

3

4

5

6

2

5

11

23

47

41

83

167

89

179

359

719

1 439

2 879

179

359

719

1439

2879

509

1 019

2 039

4 079

719

1 439

2 879

 

 

 

4

1

2

3

4

5

6

359

719

1 439

2 879

509

1 019

2 039

4 079

1 229

2 459

4 919

9 839

1 409

2 819

5 639

11 279

2 699

5 399

10 799

21 599

3 539

7 079

14 159

28 319

6 449

12 899

25 799

51 599

10 589

21 179

42 359

84 719

 

 

5

1

2

3

4

5

6

7

53 639

107 279

214 559

429 119

858 239

53 849

107 699

215 399

430 799

861 599

61 409

122 819

245 639

491 279

982 559

63 419

126 839

253 679

507 359

1 014 719

2 029 439

66 749

133 499

266 999

533 999

1 067 999

 

 

6

1

2

3

4

5

6

7

127 139

254 279

508 559

1 017 119

2 034 239

4 068 479

405 269

810 539

1 621 079

3 242 159

6 484 319

12 968 639

810 809

1 621 619

3 243 239

6 486 479

12 972 959

25 945 919

 

 

7

1

2

3

4

5

6

7

1 122 659

2 245 319

4 490 639

8 981 279

17 962 559

35 925 119

71 850 239

2 164 229

4 328 459

8 656 919

17 313 839

34 627 679

69 255 359

138 510 719

2 329 469

4 658 939

9 317 879

18 635 759

37 271 519

74 543 039

149 086 079

 

 

Voir  Nombres de Cunningham

 

 

 

Nombres premiers cousins en 2p - 1

p, q, r, s et t sont premiers et q = 2p – 1, r = 3p – 2, s = 4p – 3, t = 5p – 4.

p et q

p, q et r

p, q, r et s

p, q, r, s et t

2, 3

3, 5

7, 13

19, 37

31, 61

37, 73

79, 157

97, 193

139, 277

157, 313

199, 397

211, 421

229, 457

271, 541

307, 613

331, 661

337, 673

367, 733

379, 757

439, 877

499, 997

547, 1093

577, 1153

601, 1201

607, 1213

619, 1237

661, 1321

691, 1381

727, 1453

811, 1621

829, 1657

877, 1753

937, 1873

967, 1933

997, 1993

1009, 2017

3, 5, 7

7, 13, 19

37, 73, 109

211, 421, 631

271, 541, 811

307, 613, 919

331, 661, 991

337, 673, 1009

601, 1201, 1801

727, 1453, 2179

1171, 2341, 3511

1237, 2473, 3709

1297, 2593, 3889

1531, 3061, 4591

1657, 3313, 4969

2221, 4441, 6661

2281, 4561, 6841

2557, 5113, 7669

3037, 6073, 9109

3061, 6121, 9181

3067, 6133, 9199

4261, 8521, 12781

4447, 8893, 13339

4801, 9601, 14401

4951, 9901, 14851

5227, 10453, 15679

5581, 11161, 16741

5851, 11701, 17551

6151, 12301, 18451

6361, 12721, 19081

6691, 13381, 20071

6841, 13681, 20521

6967, 13933, 20899

7621, 15241, 22861

7681, 15361, 23041

7687, 15373, 23059

331, 661, 991, 1321

1531, 3061, 4591, 6121

3061, 6121, 9181, 12241

4261, 8521, 12781, 17041

4951, 9901, 14851, 19801

6841, 13681, 20521, 27361

10831, 21661, 32491, 43321

15391, 30781, 46171, 61561

18121, 36241, 54361, 72481

23011, 46021, 69031, 92041

25411, 50821, 76231, 101641

26041, 52081, 78121, 104161

31771, 63541, 95311, 127081

33301, 66601, 99901, 133201

40111, 80221, 120331, 160441

41491, 82981, 124471, 165961

45061, 90121, 135181, 180241

49831, 99661, 149491, 199321

53881, 107761, 161641, 215521

59341, 118681, 178021, 237361

65851, 131701, 197551, 263401

70141, 140281, 210421, 280561

73771, 147541, 221311, 295081

78541, 157081, 235621, 314161

88741, 177481, 266221, 354961

95461, 190921, 286381, 381841

96931, 193861, 290791, 387721

109471, 218941, 328411, 437881

111721, 223441, 335161, 446881

112621, 225241, 337861, 450481

117721, 235441, 353161, 470881

131311, 262621, 393931, 525241

133201, 266401, 399601, 532801

134731, 269461, 404191, 538921

135301, 270601, 405901, 541201

150151, 300301, 450451, 600601

10831, 21661, 32491, 43321, 54151

25411, 50821, 76231, 101641, 127051

26041, 52081, 78121, 104161, 130201

88741, 177481, 266221, 354961, 443701

165901, 331801, 497701, 663601, 829501

196561, 393121, 589681, 786241, 982801

211051, 422101, 633151, 844201, 1055251

224401, 448801, 673201, 897601, 1122001

230281, 460561, 690841, 921121, 1151401

247711, 495421, 743131, 990841, 1238551

268501, 537001, 805501, 1074001, 1342501

268921, 537841, 806761, 1075681, 1344601

375481, 750961, 1126441, 1501921, 1877401

377491, 754981, 1132471, 1509961, 1887451

420331, 840661, 1260991, 1681321, 2101651

451411, 902821, 1354231, 1805641, 2257051

494341, 988681, 1483021, 1977361, 2471701

512821, 1025641, 1538461, 2051281, 2564101

592621, 1185241, 1777861, 2370481, 2963101

604171, 1208341, 1812511, 2416681, 3020851

735751, 1471501, 2207251, 2943001, 3678751

751291, 1502581, 2253871, 3005161, 3756451

765781, 1531561, 2297341, 3063121, 3828901

799171, 1598341, 2397511, 3196681, 3995851

808081, 1616161, 2424241, 3232321, 4040401

952681, 1905361, 2858041, 3810721, 4763401

975661, 1951321, 2926981, 3902641, 4878301

1053691, 2107381, 3161071, 4214761, 5268451

1064191, 2128381, 3192571, 4256761, 5320951

1132861, 2265721, 3398581, 4531441, 5664301

1156171, 2312341, 3468511, 4624681, 5780851

1532371, 3064741, 4597111, 6129481, 7661851

1559581, 3119161, 4678741, 6238321, 7797901

1575421, 3150841, 4726261, 6301681, 7877101

1708351, 3416701, 5125051, 6833401, 8541751

1767781, 3535561, 5303341, 7071121, 8838901

 

 

 

 

Voir

*  Place de ces nombres parmi les autres premiers

*  Records

*  Nombres premiers en progression arithmétique

Livre

*   La femme cachée des mathématiques – Sylvie Dodeller – L’école des loisirs - 2020

*   Nombres premiers de Sophie Germain – Bibma@th

*   Sophie Germain – Bibma@th

*   Germain Sophie – ChronoMath

*   Marie-Sophie Germain – MacTutor

*   Nombres premiers de Sophie Germain – Wikipédia

*   Sophie Germain Prime – The prime glossary – Chris K. Caldwell

*   Sophie Germain Prime – Wolfram MathWorld

*   OEIS A005384 – Sophie Germain primes p: 2p+1 is also prime

*   A proof of Sophie Germain primes conjecture – Marko Jankovic

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