NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 23/06/2018 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
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FRACTIONS

Somme = 1

On cherche une somme de n fractions unitaires

dont la somme est égale à 1, et

dont tous les dénominateurs sont différents (U-Bon)

Exploration avec n = 2, 3, 4 et 5. >>>

Je veux savoir le résultat tout de suite >>>

ORDRE 2 (n = 2)

Avec 2 fractions, la cause est vite entendue. Il n'existe qu'une seule possibilité de faire une somme 1 avec 2 fractions.

1/2	1/2
1/2	1/3

Seule la somme 1/2 + 1/2 permet de faire un segment de longueur 1. En utilisant une fraction plus petite, on ne peut plus atteindre la longueur 1.

ORDRE 3 (n = 3)

Avec trois fractions, on a la possibilité de dépasser 1.

1/2		1/2		1/a
1/3	1/3		1/3
1/3	1/3		1/a

La somme 1/2 + 1/2 + 1/a est toujours plus grande que 1.

La somme 1/3 + 1/3 + 1/a est toujours plus petite que 1.

Seule la somme 1/3 + 1/3 + 1/3 vaut exactement 1.

Conclusion avec 1/3

Inutile de chercher des fractions avec un dénominateur supérieur à 3.

Par contre avec une fraction en 1/2, il y a sans doute des possibilités.

Suite avec 1/2

Partons de la relation avec deux fractions:

1/2

1/2

Conservons la première fraction ½ et décomposons la seconde. On trouvera facilement les deux seuls résultats suivants:

1/2	1/4	1/4
1/2	1/3		1/6

ORDRE 4 (n = 4)

Fractions en 1/4

Que peut-on faire avec 4 fractions? n = 4 (ordre 4)

1/2			1/2			1/a	1/b
1/3		1/3		1/3		1/a
1/4	1/4		1/4		1/4
1/4	1/4		1/4		1/m

Le mécanisme se dessine:

Avec n fractions 1/n, la somme est 1.

1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1
Premier nombre bon avec 4 fractions, et la somme vaut 4 x 4 = 4² = n².

Avec n – 1 fractions 1/n et une fraction plus petite 1/m, la somme n'atteint jamais 1. Il faut alors introduire une fraction plus grande que 1/n.

Soit le bilan suivant avec les dénominateurs nommés comme suit:

1/i

1/j

1/k

1/l

	i	j	k	l	Somme minimale
Max pour i	4	4	4	4	16

La fraction la plus petite pour atteindre 1 en n fractions est 1/n et la somme minimale est n².

Fractions ½ + …

Avec n = 4, les deux possibilités sont i = 2 ou i = 3

Avec i = 2

La première fraction 1/2 étant imposée, il reste à couvrir la seconde partie de 1/2 en trois fractions

1/2

1/23

Première possibilité: 1/2 partagé en trois donne 1/6.

1/2	1/6	1/6	1/6
1/2	1/6	1/6	1/a

Toute quatrième fraction (1/a) ne permettra pas d'atteindre la somme 1.

Soit le bilan suivant:

	i	j	k	l	Somme minimale
Max pour i	2	6	6	6	20

Fractions 1/2 + 1/3 + …

Avec ces deux fractions, il manque 1/6 en deux fractions pour atteindre 1

1/2

1/3

1/6

Soit 2 x 1/12.

	i	j	k	l	Somme minimale
Max pour i	2	3	12	12	29

Fractions 1/2 + 1/3 + 1/m ?

La somme 1/2 + 1/3 + 1/4 est supérieure à 1.
Cherchons la fraction pour une somme juste en-dessous de 1

1/2	+ 1/3	+ 1/4	= 1,08
		+ 1/5	= 1,03
		+ 1/6	= 1
		+ 1/7	= 0,97	= 41/42

La troisième est 1/7 et la quatrième 1/42.

	i	j	k	l	Somme minimale
Max pour i	2	3	7	42	54

BILAN pour l'ordre 4

On reprend les paramètres trouvés ci-dessus

	i	j	k	l	Somme min.	Somme max.
max pour i	4	4	4	4	16
max pour j	2	6	6	6
max pour k	2	3	12	12
max pour l	2	3	7	42		54

Voici plusieurs nombres bons, dont le seul avec des dénominateurs différents (U-Bon) est le dernier.

Voici un programme qui explore ces possibilités pour i, j, k et l.

for i from 1 to 4 do

for j from i to 6 do

for k from j to 12 do

for l from k to 42 do

n:= i + j + k + l:
r:=1/i + 1/j + 1/k + 1/l:

if r = 1 then

lprint(n, i, j, k, l):

fi:

od:od:od:od:

Voir les Résultats / Programmation

ORDRE 5 (n = 5)

La fraction la plus petite pour atteindre 1 en 5 fractions est 1/5

	i	j	k	l	p
max	5	5	5	5	5

Pour trouver le nombre U-Bon commençons par la fraction 1/2.

1/2

1/2

La fraction la plus petite pour atteindre 1/2 en 4 fractions est 1/8

	i	j	k	l	p
max	2	8	8	8	8

Passons à la fraction 1/3 qui convient encore car la somme ne dépasse pas 1.

1/2

1/3

1/63

La fraction la plus petite pour atteindre 1/6 en 3 fractions est 1/18

	i	j	k	l	p
max	2	8	18	18	18

On se souvient que: 1/2 + 1/3 + /1/6 = 1.

La fraction suivante ne sera ni 1/4, ni 1/5 , ni 1/6.

Avec 1/7: 1/2 + 1/3 + /1/7 = 41 /42.

Alors, la fraction manquante pour atteindre 1 est 1/42.
La fraction la plus petite pour atteindre 1/42 en 2 fractions est 1/84.

	i	j	k	l	p
max	2	3	7	84	84

On trouve 1 exactement avec 1/2 + 1/3 + /1/7 +1/42

Pour être juste en-dessous de 1, on prend: 1/2 + 1/3 + /1/7 + 1/43

Alors, la fraction à couvrir est 1/1806

Soit, le bilan:

	i	j	k	l	p	Somme min.	Somme max.
max	5	5	5	5	5	25
	2	8	8	8	8
	2	3	18	18	18
	2	3	7	84	84
	2	3	7	43	1806		1921

Théorie
Si nous avons trouvé une série de n fractions dont la somme est 1, comment trouver la fraction la suivante le plus petite. Nous savons que nous devons retirer un chouia dans cette relation pour laisser la place à la quatrième fraction. Le dénominateur de la dernière fraction est diminué de 1. Calculons l'écart en reprenant la valeur de 1 en n fractions. En simplifiant de chaque côté Le calcul est simple.		Suivante avec quatre fractions ?
Et d'une manière générale		a = k (k+1)
Ces valeurs croissent à grande vitesse!	3 6 4 42 5 1806 6 3263442 7 10650056950806 0,10 10^14 8 113423713055421844361000442 0,11 10^27 9 0,12 10^53 10 0,16 10^105 11 0,27 10^209

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Voir	Fractions Fractions égyptiennes Fractions continues Table des fractions égyptiennes
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