calcul mental - multiplications rapides

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	Sommaire de cette page >>> Cas GÉNÉRAL – Deux chiffres >>> Cas GÉNÉRAL – Trois chiffres >>> Méthode du pivot >>> Le truc pratique pour multiplier rapidement deux nombres quelconques >>> Nombres proches de 100 >>> Cas de multiplications particulières

MULTIPLICATIONS

des nombres à deux et trois chiffres

& Généralisation

On va examiner les méthodes utilisées par ceux qui calculent rapidement

notamment les Indiens (védiques).

Le calcul est optimisé selon les nombres à multiplier.

On utilise les identités remarquables.

Voir tout de suite de truc pratique pour la multiplication rapide >>>

Trucs de calcul rapide pour multiplications particulières

Cas GÉNÉRAL – Deux chiffres

Méthode basée sur le même principe avec le développement à trois chiffres

(10a + b) (10x + y)

100 (a.x) +

10 (a.y + b.x) +

1 (b.y)

Voir Identités du premier degré

Disposition pratique (mentale ou écrite)

Produit en colonne de droite / somme des produits en croix / produit en colonne de gauche

Cas des carrés (un peu de simplification)

Cas GÉNÉRAL – Trois chiffres

Méthode basée sur le même principe avec le développement à trois chiffres

(100a + 10b + c) (100x + 10y + z)

10000 (a.x) +

1000 (a.y + b.x) +

100 (a.z + b.y + c.x) +

10 (b.z + c.y) +

1 (c.z)

Voir Identités du premier degré

Disposition pratique (mentale ou écrite) avec aussi cas d'un carré

Résumé illustré

Le truc pratique pour multiplier deux nombres rapidement
Principe	Le principe a été vu sur deux exemples (2 et 3 chiffres). Voici la généralisation et la méthode pratique de calcul.
Deux règles
Exemple détaillé
Disposition pratique avec l'habitude	On calcule de gauche à droite en posant les résultats de calcul mental sur deux lignes, les dizaines en haut et les unités en bas, en décalant d'un cran évidemment. Ne reste plus qu'à faire l'adition finale.

Multiplication rapide à pivot
Disposition classique Méthode élégante basée sur l'identité: Toute l'astuce consiste à choisir le pivot c, tel que le produit (a + c) (b – c) soit facile à calculer. Dans le premier exemple avec 23 x 27, on calcule graphiquement cette opération: 23 x 27 = 30 x 20 + 7 x (23 + 7 – 27) = 600 + 7 x 3 = 621 Dans le deuxième exemple, on montre qu'il est possible de choisir un pivot créant des écarts négatifs.
Autre disposition De la multiplication désirée à gauche, on passe à la multiplication simplifiée à droite. On corrige le résultat par le produit interne indiqué (rouge par bleu).

Multiplication rapide proche de 100
Procédé (cas des nombres inférieurs à 100) Complément à 100 à droite u et v; Produit u . v pour dizaines et unités; et Somme u + v retirée des milliers et centaines		Exemple complet
Deux nombres inférieurs à 100: Méthode basée sur l'identité: (100 – x) (100 – y) = 10000 – 100(x + y) + xy Deux nombres dépassant 100: (100 – x) (100 – y) = 10000 + 100(x + y) + xy Deux nombres autour de 100: (100 – x) (100 + y) = 10000 + 100(x – y) – xy	Exemples pour calcul mental Simple / Typique / Limite

Voir Nombre 100

Cas particuliers

	Général	Mêmes Unités	Mêmes dizaines	Cas particuliers
Général	Aa x Bb	Au x Bu	Da x Db	A4 x B6
Avec 1			1a x 1b
5		A5 x B5		A5²
9			9a x 9b
Autres				A4 x A6

Rappel

27 peut se décomposer

en 20 + 7 ou 2 x 10 + 7

ou de manière générale

Aa devient 10A + a

On ne confondra pas dans cette page

Aa qui indique deux nombres concaténées

et A.a qui indique le produit de A par a.

AVEC MÊMES UNITÉS

Principe	Au . Bu
En décomposant dizaines et unités		= (10A + u) (10B + u)
		= 100A.B + 10u (A+B) + u²
Exemple	12 x 32
Cent fois le produit des dizaines		100 x (1x3) =	300
Dix fois la somme des dizaines multipliées par le chiffre des unités		10 (1 + 3) x 2 =	80
Unité au carré		2² =	4
Total			384

Pratiquons	12 x 32	23 x 43	55 x 55	26 x 56	27 x 87	99 x 19
100AB	300	800	2 500	1 000	1 600	900
10 (A+B)u	80	180	500	420	700	900
u²	4	9	25	36	49	81
Total	384	989	3 025	1 456	2 349	1 881

AVEC MÊMES UNITÉS égales à 5

Principe	A5 . B5
En décomposant dizaines et unités		= (10A + 5) (10B + 5)
		= 100A.B + 50 (A+B) + 25
Exemple	15 x 35
Cent fois le produit des dizaines		100 x (1x3) =	300
Cent fois la demi- somme des dizaines		1/2 x 100 (1+3) =	200
ajoutez			25
Total			525

Pratiquons	15 x 35	25 x 25	55 x 55	55 x 75	95 x 95	125 x 245
100AB	300	400	2 500	3 500	8 100	28 800
10 (A+B)u	200	200	500	600	900	1 800
u²	25	25	25	25	25	25
Total	525	625	3 025	4 125	9 025	30 625

Note: le dernier exemple montre que la méthode vaut quel que soit le nombre de chiffres de A et B

Cas particulier d'un carré en 5

Principe	A5 . A5
En décomposant dizaines et unités		= (10A + 5) (10A + 5) = 100A² + 100A + 25
		= 100A(A + 1) + 25
Exemple	15 x 15
Produit de la dizaine et de sa suivante		1 x 2 =	2
Cent fois ce produit		2 x 100 =	200
ajoutez 25			25
Total			225

Pratiquons	25 x 25	55 x 55	95 x 95	125 x 125
A (A+1)	2 x 3	5 x 6	9 x 10	12 x 13
100 fois	600	3000	9000	15 600
	25	25	25	25
Total	625	3 025	9 025	15 625

Note: le dernier exemple montre que la méthode vaut quel que soit le nombre de chiffres de A et B

AVEC MÊMES DIZAINES

Principe	Da . Db
En décomposant dizaines et unités		= (10D + a) (10D + b) = 100D² + 10D (a+b) + a.b
		= 10D { 10D + a + b } + a.b
Exemple	25 x 27
Dix fois la dizaine plus les unités		20+5+7 =	32
multiplié par dix fois la dizaine fois		32 x 20 =	640
Plus produit des unités			35
Total			675

Pratiquons	22 x 25	42 x 43	51 x 56	88 x 89	99 x 99
x= 10D + a + b	27	45	570	97	108
x . D . 10	540	1 800	2 850	7 760	9 720
ab	10	6	6	72	81
Total	550	1 806	2 856	7 832	9 801

AVEC La MÊME DIZAINE égale à 1

Principe	1a . 1b
En décomposant dizaines et unités		= (10 + a) (10 + b) = 100 + 10 (a+b) + a.b = 10 { 10 + a + b } + a.b
Désignons par X le premier nombre à multiplier X = 10 + a = 1a		= 10 { X + b } + a.b
Exemple	13 x 19
Le premier nombre plus l'unité du 2^e		13 + 9 =	22
multiplié par dix			220
Plus produit des unités			27
Total			247

Pratiquons	11 x 11	12 x 15	13 x 17	14 x 18	19 x 19
X + b	12	17	20	22	28
10 X	120	170	200	220	280
ab	1	10	21	32	81
Total	121	180	221	252	361

AVEC MÊMES DIZAINES égales 9

Principe	9a . 9b
On introduit les compléments à 100 de ces nombres	x = y =	100 - 9a 100 - 9b
La multiplication devient	(100-x)(100-y) =	10 000 - 100 (x+y) +x.y 100 (100-x - y) + x.y
Soit N le premier nombre (9a)		100 (N - y) + x.y
Observons que	xy <	100
Bilan	Centaines Unités	= N - y = x.y
Exemple	93 x 97
x et y		7 et 3
Centaines		100 fois 93 - 3 =	9 000
Unités		7 x 3	21
Total			9 021

Pratiquons	99 x 91	98 x 92	95 x 95	99 x 99	91 x 91
x et y	1, 9	2, 8	5, 5	1, 1	9, 9
N - x	9 000	9 000	9 000	9 800	8 200
xy	9	16	25	1	81
Total	9 009	9 016	9 025	9 801	8 281

AVEC UNITÉS EN 4 ET 6

Principe	A4 . B6
A4 et B6 sont deux nombres proches de nombres terminés en 5	A4 = B6 =	A5 - 1 B5 + 1
La multiplication devient	A4 . B6	= (A5 - 1)( B5 + 1)
On note que A4.B5 est un produit avec unités en 5		= A5.B5 + A5 - B5 - 1
Exemple	14 x 36
Produit en 5		15 x 35 =	525
Soustraction des nombres en 5		15 - 35 =	- 20
Soustraire 1			- 1
Total			504

Pratiquons	16 x 34	24 x 26	54 x 56	56 x 74	96 x 94
Produit en 5	525	625	3 025	4 125	9 025
Soustraction	20	0	0	20	0
Moins 1	-1	-1	-1	-1	-1
Total	544	624	3 024	4 144	9 024

Cas particulier de la même dizaine

Principe	A4 . A6
A4 et B6 sont deux nombres proches de nombres terminés en 5	A4 = A6 =	A5 - 1 A5 + 1
La multiplication devient	A4 . A6	= (A5 - 1)( A5 + 1)
On note que A4.B5 est un produit avec unités en 5		= A5² - 1
Exemple	14 x 16
Calcul du carré en 5		15² =	225
On retranche 1			- 1

Total			224

Pratiquons	24 x 26	54 x 56	56 x 74	96 x 94	124 x 126
Carré en 5	625	3 025	4 125	9 025	15 625
Moins 1	-1	-1	-1	-1	- 1
Total	624	3 024	4 144	9 024	15 624

Note: le dernier exemple montre que la méthode vaut quel que soit le nombre de chiffres de A et B

Bilan

Selon le principe de ces pages, vous pouvez compléter selon les unités ou les dizaines.

Mais à multiplier les méthodes, on ne sait plus laquelle utiliser.

Pour deux et trois chiffres, il est souvent plus judicieux de se référer à la méthode générale plutôt que de chercher quel cas particulier à appliquer.