NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 24/02/2024 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Multiplication MUSULMANE >>> Contexte >>> Multiplication À TRAITS >>> Multiplication ÉGYPTIENNE >>> Multiplication RUSSE >>> Multiplication MAGIQUE

MULTIPLICATIONS de divers pays Curieuses dispositions, mais efficaces. Celle présentée ci-contre est dite par jalousies. On dispose les nombres à multiplier sur deux côtés: ici en haut et à droite. Une autre présentation les met en haut et à gauche (ci-dessous)

MULTIPLICATION par JALOUSIES
On dispose les deux termes comme indiqués. Horizontal en haut de gauche à droite: 873. Vertical à gauche de bas en haut: 43 pour 34 en remontant. On écrit le résultat de chaque produit élémentaire. en séparant les dizaines et les unités. Exemple: 4 x 8 = 32; 4 x 7 = 28 … On ajoute les chiffres des diagonales, avec les retenues. Exemple: 8 + 1 + 9 = 8 et on mémorise 1 de retenue pour la diagonale suivante. On lit le résultat de gauche à droite, puis vers le haut: 29 682.	Exemple Calculs sur diagonale descendante. Notez que les chiffres de la multiplication sont notés à la suite dans le sens horaire. On reprend dans l'autre sens pour le résultat.
Les trois méthodes comparées

Anglais: lattice method

Contexte

Divers noms pour cette méthode ou d'autres proches

Multiplication par jalousies;

Multiplication grecque ou italienne;

Multiplication chinoise ou musulmane;

Anglais: lattice multiplication, Chinese lattice, Venitian square … La méthode actuelle est nommée: long multiplication;

Italien: moltiplicazione araba, moltiplicazione a gelosia, a graticola, per reticolo;

Inde: quadrilateral method;

Arabie ancienne: méthode du crible ou méthode du filet.

Usage

Au Moyen Âge: Chine, Inde, Arabes.

Aujourd'hui: Turquie.

Vocabulaire

Fenêtre à jalousies: avec système de volets orientables permettant aux personnes à l'intérieur de la maison d'observer presque sans être vues.

Lattice: mot anglais signifiant treillis, réseau, grille.

Historique

Origine inconnue, mais connue de différentes cultures. Sans doute un algorithme indien très ancien (probablement avant l'arrivée de la numération de position).

D'Inde, la méthode se répandit vers la Chine, la Perse puis le reste du monde arabe.

Ce que nous avaons en terme de dates

Vers 600, l'Indien Brahmagupta utilisait une méthode similaire.

Vers 825, au sujet de Khawarizmi: contrairement à de nombreux textes, il n'a pas décrit cette méthode de multiplication.

Vers 1010, Le Perse Karaji décrit la méthode dans son livre des satisfactions (Kafi fil Hisab).

Vers fin des années 1200: premier texte au Magreb par Ibn al-Banna' al-Marrakushi dans Talkhīṣ a‘māl al-ḥisāb.

Vers 1300 en Europe, d'auteur inconnu, un traité: Tractatus de minutis philosophicis et vulgaribus.

Vers 1210, Fibonacci décrit une méthode voisine, mais différente, dans Liber Abaci.

En 1478, première apparition imprimée de la méthode en Italie (Trévise) sous le nom "gelosia" (nom d'une sorte de volet protégeant les femmes de noble classe de la vue du public. Femmes et filles étaient séquestrées en leur maison. Elles avaient parfois une vue sur des scènes qui les rendaient jalouses).

En 1494, Luca Pacioli décrit cette méthode dans Summa de atithmetica.

Supplanté par la méthode actuelle de multiplication vers la fin des années 1500. Un des raisons était la difficulté d'imprimer la grille de calcul.

Vers 1500 apparait une version triangulaire de cette méthode de multiplication.

En 1617, Napier (ou Neper), inventeur des logarithmes, invente aussi un abaque à réglette basé sur cette méthode de multiplication.

En 1885, Genaille propose une amélioration des bâtons de Napier suite à un défi posé par Édouard Lucas.

MULTIPLICATION À TRAITS - Méthode graphique
Cette méthode amusante repose sur le même principe que la multiplication chinoise exposée ci-dessus. Calculons 32 x 12. Posons 3 et 2 allumettes verticales pour 32. Puis 1 et 2 allumettes horizontales pour 12. Le produit est simplement le décompte des intersections en oblique (ici, dans les surfaces jaunes dessinées).	32 x 12 = 384

Autre exemple (avec retenues)

Calculons 432 x 142. Posons 4, 3 et 2 allumettes verticales. Puis 1, 4 et 2 allumettes horizontales. Le produit est simplement le total des intersections en oblique (ici, dans les ovales jaunes). Faisons les additions en propageant les retenues vers la gauche comme dans toute addition: Avec 14, je pose 4 et garde 1; Avec 22, j'ajoute la retenue, ce qui donne 23; je pose 3 et je garde 2 en retenue …

432 x 142 = 61 344

Voir Méthode avec les doigts / Division à traits

Disposition en oblique montrant directement les additions à effectuer (avec ou sans retenue)

MULTIPLICATION ÉGYPTIENNE Méthode utilisée par les Égyptiens
Soit la multiplication à effectuer. Dans un premier temps l'un des nombres est décomposé en puissance de 2.	19 x 11 19 =	16 + 2 + 1
Toutes les multiplications élémentaires sont effectuées. Le 2^e nombre est multiplié par chacune des puissances de deux qui forment le 1^er nombre.	1 2 4 8 16	11 22 0 0 176
Il suffit d'effectuer la somme.		209

Voir Binaire – Multiplication

MULTIPLICATION PAYSANNE RUSSE
Variante plus élaborée de la méthode égyptienne.
Méthode dite à la russe utilisant les puissances de 2 Le multiplicateur est décomposé en une somme de puissances de 2. Sur l'exemple: 456 x 14 = 456 x (8 + 4 + 2) = 456 x 2 + 456 x 4 + 456 x 8	Brève 361

Méthode de la multiplication paysanne russe en multipliant et en divisant par 2 (sans s'inquiéter des puissances de 2).
Méthode On divise l'un par deux. On multiplie l'autre par deux. On ne retient que les nombres à droite, en face d'un nombre impair à gauche. On ajoute les nombres retenus.	Exemple 1	Exemple 2
Variantes On simplifie la présentation en ne conservant que deux colonnes et en barrant les lignes paires (exemple à gauche) L'ordre des facteurs est indifférent (exemple à droite)	Exemple 2 (bis)	Exemple 2 (ter)

Autre exemple	Application sur tableur
En colonne B, on calcule le PLANCHER de la cellule supérieure divisée par 2. En colonne C, on calcule le MODULO 2 du nombre à gauche. En colonne D, on prend le double de la cellule supérieure. En colonne E, on fait le produit de C par D, et en pied de colonne, on effectue la somme. Bilan: 10 021 x 250 = 2 505 250

Voir Autres applications avec tableur

Explications avec un cas simple Voyez la multiplication de 9 par 8 dont le produit est 72. En multipliant un des facteurs par 2 et en divisant l'autre par 2 on ne change pas le résultat de la multiplication. On reproduit ce procédé jusqu'à ne plus pouvoir diviser par 2. C'est le résultat de la multiplication. Observez que 1, 2, 4 et 8 sont les puissances de 2 successives		En divisant 8 par 2 jusqu'à la fin et en compensant en multipliant par 2 le nombre 9, on ne change pas le résultat de la multiplication.
Illiustration
Explications complètes On a compris que la méthode est basée sur une sorte de représentation en puissances de 2, ou binaire. Mieux qu'une explication formelle fastidieuse, le tableau montre comment opèrent les puissances de 2 successives selon que la représentation binaire comporte des 1 ou non. On retrouve la division par 2 (colonne de gauche) et la multiplication par 2 (troisième colonne).	Numération classique (exemple 35) 35 = 32 + 2 + 1 35 = 1 x 2^5 + 0 x 2^4 + 0 x 2^3 + 0 x 2^2 + 1 x 2^1 + 1 x 2^0 35 = 1000112 Méthode russe (division par 2) 35 / 2 = 16 reste 1 17 / 2 = 8 reste 1 8 / 2 = 4 reste 0 4 / 2 = 2 reste 0 2 / 2 = 1 reste 0 1 / 2 = 0 reste 1 On retrouve la représentation binaire de 35 (en remontant). La multiplication 35 x 27 devient: (32 + 2 + 1) x 27 Tableau explicatif

Voir Autre méthode de multiplication sans table – (doublements et addition)

MULTIPLICATION MAGIQUE

Pensez à un nombre inférieur à 1000.

Donnez le reste de la division

par 7,

puis par 11 et,

enfin, par 13 :

soit : a, b et c ces restes.

Ne connaissant que des trois restes,

donnez le nombre d'origine!

Exemple

468

468 divisé par	donne
7	a = 6
11	b = 6
13	c = 0

Le nombre du départ se retrouve en calculant la formule :

N = reste de
(715a + 364b + 924c) / 1 001

ou plus mathématique

N = (715a + 364b + 924c) mod 1 001

Avec 715 = multiple de 11 x 13 et multiple plus 1 de 7

715 = 5 x 11 x 13 = 102 x 7 + 1

Même chose pour les autres.

La démonstration n'est pas évidente

Elle basée sur le fait que 1 001 = 7 x 11 x 13.

Et sur le théorème des restes chinois.

Avec 6, 6 et 0, il s'agit de retrouver le nombre du départ

Voici le calcul à effectuer

715 x 6 = 364 x 6 = 924 x 0 =	4 290 2 184 0
Somme = Division par 1 001 =	6 474 6,…
Somme trouvée Moins 6 fois 1 001	6 474 - 6 006
qui donne	468

Voir Théorème des restes chinois

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Sites	Technique de la multiplication par jalousies – Wikipédia Lattice multiplication – Wikipedia Lattice method – Wolfram MathWorld Ancient Multiplication Methods
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