Nombres - Curiosités,
Théorie & Usages |
Index |
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Addition |
L'addition est une opération bien connue qui consiste à ajouter une
certaine quantité B à un nombre A
C'est
la plus simple des opérations
Elle
est docile et ne présente pas grande difficulté
L'ordre
d'exécution des opérations peut être quelconque: 2 + 3 = 3 + 2 = 5 On dit que l'addition
est commutative
L'addition
est utilisée pour construire tous les nombres
Avec
le zéro, l'addition fait du sur place
Le
résultat de l'addition s'appelle la somme |
Construction des nombres 0 + 1 = 1 1 + 1 = 2 2 + 1 = 3 3 + 1 = 4 … |
Disposition classique de l'addition 123 + 456 = 579 |
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La soustraction
consiste à retirer une certaine quantité B à un nombre A
Si
la quantité à retirer est inférieure au nombre, le résultat est positif: il
reste quelque chose
Si
la quantité à retirer est supérieure au nombre, le résultat est négatif:
c'est une dette en quelque sorte Avec la soustraction, il
est important de respecter l'ordre de l'opération La soustraction n'est
pas commutative |
Soustraction s = A – B B < A s est positif B
> A s est négatif |
s = 15 – 6 =
9 s = 6 – 15 = -9 |
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Un homme sage ne croit que la
moitié de ce qu’il lit. Plus sage encore, il sait laquelle. |
Binaire |
En binaire, il
n'existe que deux chiffres: 0 et 1 Ce système est le
plus simple pour compter
Il
est utilisé dans les ordinateurs
Selon
le principe suivant
1
le courant passe dans le circuit
0 ,
il ne passe pas Anecdote
Certaines
peuplades comptaient : un, deux beaucoup |
Nombres successifs en binaire 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011 … Voir hexadécimal |
Il suffit d'un gramme de merde
pour gâcher un kilo de caviar. Mais un gramme de caviar n'améliore en rien un kilo de merde. |
Chiffres |
Contrairement au
système binaire, Nous utilisons 10
symboles pour compter Pour former un nombre,
nous utilisons une convention importante La position du
chiffre dans le nombre est importante De la droite vers
la gauche, il y a
les
unités
les
dizaines
les
centaines
les
milliers etc.
Nous
utilisons un système de numération de position
à base dix |
Les dix chiffres pour compter 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Valeur du chiffre selon sa position dans
le nombre 4563 = 4000 milliers + 500 centaines + 60 dizaines + 3 unités |
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Propriété
intéressante sur les chiffres
Si
la somme des chiffres est divisible par 3 ou 9, le nombre est lui-même
divisible par 3 ou 9 |
Divisibilité par 3 ou 9 123 => 1 + 2 + 3 = 6 = 3
x 2 => 123
est divisible par
3 123
= 3 x 41 981 => 9 + 8 + 1 = 18 = 9 x
2 => 981
est divisible par
9 981
= 9 x 109 |
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Soyez aimable avec ceux que vous
rencontrez pendant que vous montez, vous les retrouverez en descendant. |
Décimal |
À côté des dizaines
et centaines, il est possible de former
les
dixièmes,
les
centièmes … Les chiffres après
la virgule sont les décimales
Un
nombre comportant un nombre fini de chiffres après la virgule est dit nombre
décimal
Sans
virgule, c'est un nombre
entier
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Formation d'un nombre décimal 45,123 = 40 + 5 + 0,1 + 0,02 + 0,003 |
L'expérience est une lanterne
accrochée dans le dos qui n'éclaire que le passé - Confucius |
Ensemble |
Les nombres forment
des familles ou ensembles dont il est
possible de donner les propriétés communes et cela est bien
pratique
Par
exemple
Lorsqu'on
les additionne, on peut pratiquer dans un ordre quelconque
Mais,
ce n'est plus le cas lorsqu'on effectue la soustraction! |
Ensembles N et Q N désigne
l'ensemble des nombres entiers 0, 1, 2, 3, 4 … Q est
l'ensemble des nombres entiers qu'ils soient positifs ou négatifs -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 … |
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Il n'est de bon vent que
pour celui qui sait où il va - Sénèque |
Facteurs |
Les nombres, comme
les humains, possède une empreinte digitale unique
Digital
comme doigt pour l'humain
Digital
comme digit ou chiffre pour les nombres Deux possibilités
pour un nombre:
il
est égal au produit de plusieurs nombres plus petits, dits facteurs ou
diviseurs: c'est un nombre composé
ou
non: c'est alors un nombre premier
Un
nombre composé est la multiplication unique de nombres premiers
appelés les facteurs premiers du nombre
La liste de ces facteurs premiers est
"l'empreinte
digitale" du nombre
ou,
sa décomposition en facteurs premiers |
Nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 … Nombres composés = produits de facteurs 4 = 2 x
2 6 = 2 x 3 8 = 2 x 2 x 2 9 = 3 x 3 10 = 2 x 5 Empreintes digitales: Facteurs premiers d'un
nombre 10 = 1 x
2 x 5 100 = 1 x 22
x 52 1000 = 1 x 23 x 53 Le
petit 2 veut
dire que le nombre est multiplié par lui-même deux fois 5²
= 5 x 5 = 25 |
Si je disposais de huit heures
pour abattre un arbre, j'en passerai six à affûter ma
hache - Abraham Lincoln |
Grands Nombres |
Pour noter les très
grands, il est souvent plus pratique de dire Combien de chiffres il possède,
On
note cette quantité par un exposant
apposé au chiffre dix: 10 q
Qui
se lit 10 puissance q
Et
vaut effectivement 1 suivi de q zéros À noter
On
ajoute des décimales selon la précision souhaitée
Dans
certains cas, il n'est pas possible d'écrire l'exposant, on utilise la
notation chapeau
La
notation des ingénieurs, dite scientifique, utilise la lettre E |
Notation des grands
nombres 912 345 678 => 9 suivi de 8 chiffres => 9 10 8 = 9 x 100 000 000 => 9,12 10 8 => 9,12 10^8 => 9,12 E 8 |
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Les riches doivent vivre plus
simplement pour que les pauvres puissent simplement vivre - Mahatma Gandhi |
Hexadécimal |
Diverses façons de
former les nombres
Les ordinateurs utilisent 2 chiffres
Les humains 10 Les
informaticiens 16
La
quantité de chiffres s'appelle la base de
numération
Le
système hexadécimal est un système
de numération à
base 16
Le
système décimal est à base 10
Le
système binaire est
à base 2 Les chiffres sont aussi appelés digits (influence anglaise) et bits dans le système binaire Pour passer du
binaire à l'hexadécimal
Il
y a une astuce qui justifie l'emploi de l'hexadécimal par les informaticiens
Il
suffit de transformer chaque groupe successif de 4 bits en un digit
hexadécimal |
Les seize chiffres des informaticiens 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Correspondance selon les systèmes de
numération
1010 0001 1001 00112 = A19316 L'indice
témoigne de la base utilisée |
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Suite I, J, K …
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