NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 24/02/2012 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
	PUISSANCE de 2
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NOMBRES de FERMAT

Diviseurs

Les diviseurs sont également des puissances de 2 plus 1.

PREMIER ou COMPOSÉ
En 1640, Fermat, affirma que: si je tiens un nombre premier et qu'il est en puissance de deux plus un, alors c'est un nombre Fermat L'exposant de la puissance de 2 est à son tour une puissance de 2. Il avait raison. Mais, la réciproque n'est pas vraie.	Si P = 2^k + 1 Alors k = 2^n

Voir Nombres en puissance de 2

Les nombres en 2^k + 1
Observation Ils ne sont premiers que si k est une puissance de 2. Et c'est très rare. on ne connait que les cinq nombres de Fermat. Sur ce tableau, ces nombres sont montrés en jaune. Ils correspondent touts à une puissance de 2 pour k. Le départ est prometteur, mais la production de nombres premiers s'arrête à la cinquième puissance de 2.	En jaune les nombres premiers
Domaine pour N = 2^k +1 Si k, l'exposant de la puissance de deux, n'est pas une puissance de 2, alors N n'est pas premier. S'il est puissance de deux (nombres de Fermat), alors N est souvent composé; sauf pour k de 0 à 4 (Fermat premiers), et peut –être pour k très grand.

DIVISEURS
Tout diviseur premier de Fn est de la forme: 2^n+1 . k + 1 Exemple
F5 641 6 700 417	= 641 x 6 700 417 = 64 x 10 + 1 = 2^5+1 x 10 + 1 = 64 x 104694 + 1
Analyse 2n+1 est l'exposant minimum: on peut faire mieux! F5 , F6 et F7 ont chacun 2 diviseurs connus. On retranche 1, et on divise par les puissances de 2 successives. Exemple
640 / 2^1 640 / 2^2 ^… 640 / 2^7	= 320 = 160 = 5
Ce diviseur de F5 est divisible par 2^7 et 7 = 5 + 2. Exploration Sur la ligne Fn , on donne les diviseurs D moins 1: Ex: 640 = 641 – 1. La colonne 2 donne l'exposant i de la puissance de 2. Les colonnes 3 et 4 donnent les quotients: (D – 1 / 2^i Généralisation Tout diviseur de Fn est de la forme: 2^m k + 1, avec k impair et m n + 2 La recherche des diviseurs des grands nombres de Fermat utilise cette propriété.

FERMAT & MERSENNE
Un nombre de Fermat n'est jamais produit de deux nombres de Mersenne. Fx My . Mz 2^2^x + 1 (2^x – 1) (2^y – 1) Démonstration
La démonstration est effectuée dans le monde du modulo 3.	Si la situation est impossible en modulo 3, elle l'est a fortiori sans modulo.
Calcul sur le nombre de Fermat.	2^2^x + 1 = 2^2t + 1 = (2²)^t + 1 = 4^t + 1
Modulo 3.	1 + 1 2 mod 3
Alors que pour Mersenne, le modulo vaut 0 pour x pair et 1 pour x impair.	2^x – 1 0 ou 1 mod 3 2^y – 1 0 ou 1 mod 3
Et, pour le produit des deux nombres de Mersenne:	(2^x – 1) (2^y – 1) 0 ou 1 mod 3
En rapprochant les deux résultats:	Égalité jamais possible

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Voir	Harshad Théorie des nombres – Index Nombres par leur nom
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