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		Sommaire de cette page >>> Produit sans zéro – Approche >>> La plus grande puissance de 10 >>> Analyse jusqu’à 10^100 >>> Méthode de calcul

Facteurs sans présence du 0

Parmi tous les produits possibles pour atteindre un nombre, lesquels ne comportent aucun 0.

Pour les puissances de 10, ces nombres sont extrêmement rares.

PRODUIT SANS ZÉRO - APPROCHE

Nombre 10

10	Facteurs	1, 2, 5
	Diviseurs	1, 2, 5, 10
	Produits	2 x 5

Produit dont chacun des deux facteurs ne comporte pas de zéro.

Nombre 100

100	Facteurs	1, 2², 5²
	Diviseurs	1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100
	Produits	2 x 50, 4 x 25, 5 x 20

Le produit 4 x 25 est le seul éligible, ne comportant pas le chiffre zéro.

Puissances de 10

10^1 =	= 2^1 x 5^1	2 x 5	La plus petite.
10^2 =	= 2^2 x 5^2	4 x 25	Voici les suivantes. La combinaison étant unique, car : seule le produit 10^n = 2^n . 5^n donne une combinaison sans 0 sinon l’un des deux facteurs auraient 2 et 5 comme facteur est serait divisible par 10.
10^3 =	= 2^3 x 5^3	8 x 125
10^4 =	= 2^4 x 5^4	16 x 625
10^5 =	= 2^5 x 5^5	32 x 3 125
10^6 =	= 2^6 x 5^6	64 x 15 625
10^7 =	= 2^7 x 5^7	128 x 78 125
10^8 =	= 2^8 x 5^8	256 x 39 0 625	NON
10^9 =	= 2^9 x 5^9	512 x 1 953 125

La plus grande puissance de 10

10^33 =

= 2^33 x 5^33

8 589 934 592 x 116 415 321 826 934 814 453 125

Mille quintillions: 1 000 x (10^5)^6 Plus grande puissance de 10 connue dont une décomposition en facteurs ne comprend pas de 0.

Les mathématiciens ont de bonnes raisons de penser qu’il n’en existe pas de plus grand.

ANALYSE JUSQU’À 10^100

On ne conserve que la configuration éligible: 10^n = 2^n . 5^n Pour mieux les visualiser les 0 dans le tableau, ils sont marqués et la cellule correspondante est en jaune (donc éliminée). La ligne complète en bleue donne les 10^n dont un des produits ne contient pas de zéro. Parfait jusqu'à 10^7. Très rare par la suite. Dans cette analyse jusqu’à 10^100 , la plus grande puissance de 10 ayant un produit sans zéro est 10^33. Il y en a 10 au total dans ce tableau. C’est sans doute un résultat vrai pour tout n jusqu’à l’infini.J’ai moi même testé qu'il n’y a pas de puissance de 2 sans zéro jusqu’à 10^500.

MÉTHODE DE CALCUL

Utiliser la remarque que les seuls produits possibles sans zéro sont du type 10^n = 2^n . 5^n Utilisez un programme de calcul symbolique (On peut utiliser un tableur, mais la taille des nombres sera très limitée). Exemple avec Maple for i from 1 to 100 do lprint (i, 2^i, 5^i): od; Copier le résultat et le coller dans le traitement de texte. Commande: convertir en tableau (dans insertion tableau). Commande: remplacer 0 par (tapez avec Ctrl H) Colorier.

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