NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Types de Nombres

 

Débutants

Nombres

FACTEURS

 

Glossaire

Nombres

 

 

INDEX

 

Type de nombres - Facteurs

 

Simples

Facteurs carrés

Facteurs cubes

Sphéniques

 

Sommaire de cette page

>>> Nombres sans facteurs carrés

>>> Plages de nombres à facteurs carrés – Records

>>> Liste des nombres sans facteur carré

>>> Liste des nombres avec facteur carré

>>> Liste des nombres puissants

 

 

 

 

Nombres sans facteur carré

 

Famille

Nombre / Diviseurs / Multiplicatif / Composé / Seul /

 

 

 

Approche

 

*       Un nombre composé est le produit unique de facteurs.

*       Chacun des facteurs est utilisé une seule fois ou plusieurs fois.

*       S'ils ne sont jamais utilisés deux fois, le nombre est dit sans carré.

*       Avec un facteur au carré, ou plus, c'est un nombre avec carré.

*       Avec tous ses facteurs au carré, ou plus, c'est un nombre puissant.

 

Illustration

 

 

 

Définitions

*       Nombre qui, dans sa décomposition en facteurs premiers, ne possède pas du tout de facteurs élevés au carré.

Aucun des exposants n'est supérieur à 1.

Tous les facteurs sont distincts.

 

 

Propriétés

*    Les nombres sans facteur carré sont

les nombres premiers, et

les nombres simples

et le nombre 1 par pure définition.

*    Le seul carré qui peut les diviser est 1.

*    Les diviseurs des nombres sans facteur carré sont premiers entre eux.

*    Tout diviseur d d'un nombre sans facteur carré n ne divise pas n/d.

*    La fonction de Möbius d'un nombre sans facteur carré est différente de 0.

*    Réciproquement: si la fonction est différente de 0, le nombre est sans facteur carré.

 

*    La quantité asymptotique des nombres sans carré inférieurs à n est 6n / p²

La densité asymptotique est donc de 6 / p² = 0, 607 927 …

 

 

 

Applications

*       Les nombres congruents primitifs sont des nombres sans facteur carré.
Exemple: 5 étant un nombre congruent, les nombres 5x4 = 20, 5x9 = 45 … sont également congruents

 

 

Exemples

OUI  

    6 = 1 x 2 x 3

    7 = 1 x 7

105 = 1 x 3 x 5 x 7

106 = 2 x 53

107 = 1 x 107

NON

    4 = 2²

    8 = 23

  20 = 2² x 5

  40 = 23 x 5

120 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 5!

 

Anglais

*       Squarefree numbers or quadratfrei (rare).
A number is said to be squarefree if its prime decomposition contains no repeated factors.
All primes are therefore trivially squarefree.
The number 1 is by convention taken to be squarefree.

 

Espagnol

*       Libre de cuadrados.
Un número entero n es libre de cuadrados si no existe un número primo p tal que p2 divide a n.
Esto quiere decir que los factores primos de n son todos distintos.

 

Plages de nombres à facteurs carrés – Records

 

*    Ce tableau donne les premières plages de k nombres successifs avec facteurs carrés.
Par exemple: 8 et 9 sont les deux plus petits nombres successifs avec facteurs carrés. 217 070 à 217 076 sont les sept plus petits nombres pour une plage de 7 nombres successifs avec carrés.


 

 

Record avec huit nombres à facteurs carrés successifs

Record avec neuf: 8 870 024; dix et onze: 221 167 422; douze: 45 255 689 915

Référence pour ces trois cas: Those fascinating numbers – Jean-Marie De Koninck

 

*    À l'inverse les plages de nombres sans carré sont limitées à 3, car tous les quatre nombres, on retrouve un nombre divisible par 4 = 2².

 

Voir DicoNombre: 48, 242, 844, 22 020 / Brève n° 414

 

Extension aux puissances supérieures

En colonne 2, on retrouve (comme ci-dessus) les records de quantité de nombres successifs avec une puissance de 2.

Même chose pour les colonnes suivantes avec les puissances de 3 à 5.

 

PF

p = 2

p = 3

p = 4

p = 5

k = 2

8

80

80

1 215

3

48

1 375

33 614

2 590 623

4

242

22 624

202 099 673

2 146 909 373

5

844

18 035 622

40 280 549 372

105 636 978 090 621

 

Exemple: 80 = 24 x 5 et 81 = 34, éligible pour p = 3 et  p = 4.

Voir Nombres sans cube (cube-free)

 

 

 

 

Programmation – Recherche des "sans facteurs carrés"

Cas où on ne dispose que de la factorisation

 

Principe de l'extraction des exposants

L'instruction ifactors produit la liste des facteurs en identifiant le 1 en tête

Nous voulons le deuxième élément de la liste N2.

De cette liste nous voulons extraire le deuxième élément de chaque couple N2[i,2] pour i allant de 1 au dernier élément: nops(N2).

Commentaires

aux logiciels de théorie des nombres.

Procédure (sous –programme) indiquant si un nombre est sans carré (sqf = 1).

Identification des facteurs de n en N.

Boucle en i de recherche des exposants supérieurs à 1, ce qui indiquerait que le nombre n'est pas sans carré. Arrêt (break) dès qu'un tel exposant est trouvé.

La procédure retourne sqf = 1 si le nombre est sans carré et 0 sinon.

 

Le programme principal explore n de 2 à 1 million et forme la liste N des nombres sans carré, puis la liste M des nombres sans carré au rang des puissances de 10 successives.

 

Attention les temps de calculs sont très longs (heures!).

 

Plus simple avec factorset

Maple dispose d'une instruction qui liste les facteurs. Leur multiplication donne le radical

Si le nombre est égal au radical, il est sans carré.

Encore plus simple avec issqrfree

Maple dispose d'une instruction qui identifie les nombres sans carré.

Voir Programmation – Index

 

 

 

Tables

 

Nombres sans facteur carré  de rang 10 puissance kième

Quantité asymptotique

 

Valeurs exactes (et selon formule)

10 =>        15 (16)

100 =>     163 (164)

1000 => 1 639 (1 645)

 

104 =>            16 447 (16 449)

105 =>          164 449 (164 493)

106 =>       1 644 919 (1 644 934)

107 =>     16 449 370  (16 449 341)

108 =>   164 493 391 (164 493 407)

109 => 1 644 934 082 (1 644 934 097)

 

Liste des nombres sans facteur carré

jusqu'à 1010 (square-free)

 

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 46, 47, 51, 53, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 65, 66, 67, 69, 70, 71, 73, 74, 77, 78, 79, 82, 83, 85, 86, 87, 89, 91, 93, 94, 95, 97, 101, 102, 103, 105, 106, 107, 109, 110, 111, 113, 114, 115, 118, 119, 122, 123, 127, 129, 130, 131, 133, 134, 137, 138, 139, 141, 142, 143, 145, 146, 149, 151, 154, 155, 157, 158, 159, 161, 163, 165, 166, 167, 170, 173, 174, 177, 178, 179, 181, 182, 183, 185, 186, 187, 190, 191, 193, 194, 195, 197, 199, 201, 202, 203, 205, 206, 209, 210, 211, 213, 214, 215, 217, 218, 219, 221, 222, 223, 226, 227, 229, 230, 231, 233, 235, 237, 238, 239, 241, 246, 247, 249, 251, 253, 254, 255, 257, 258, 259, 262, 263, 265, 266, 267, 269, 271, 273, 274, 277, 278, 281, 282, 283, 285, 286, 287, 290, 291, 293, 295, 298, 299, 301, 302, 303, 305, 307, 309, 310, 311, 313, 314, 317, 318, 319, 321, 322, 323, 326, 327, 329, 330, 331, 334, 335, 337, 339, 341, 345, 346, 347, 349, 353, 354, 355, 357, 358, 359, 362, 365, 366, 367, 370, 371, 373, 374, 377, 379, 381, 382, 383, 385, 386, 389, 390, 391, 393, 394, 395, 397, 398, 399, 401, 402, 403, 406, 407, 409, 410, 411, 413, 415, 417, 418, 419, 421, 422, 426, 427, 429, 430, 431, 433, 434, 435, 437, 438, 439, 442, 443, 445, 446, 447, 449, 451, 453, 454, 455, 457, 458, 461, 462, 463, 465, 466, 467, 469, 470, 471, 473, 474, 478, 479, 481, 482, 483, 485, 487, 489, 491, 493, 494, 497, 498, 499, 501, 502, 503, 505, 506, 509, 510, 511, 514, 515, 517, 518, 519, 521, 523, 526, 527, 530, 533, 534, 535, 537, 538, 541, 542, 543, 545, 546, 547, 551, 553, 554, 555, 557, 559, 561, 562, 563, 565, 566, 569, 570, 571, 573, 574, 577, 579, 581, 582, 583, 586, 587, 589, 590, 591, 593, 595, 597, 598, 599, 601, 602, 606, 607, 609, 610, 611, 613, 614, 615, 617, 618, 619, 622, 623, 626, 627, 629, 631, 633, 634, 635, 638, 641, 642, 643, 645, 646, 647, 649, 651, 653, 654, 655, 658, 659, 661, 662, 663, 665, 667, 669, 670, 671, 673, 674, 677, 678, 679, 681, 682, 683, 685, 687, 689, 690, 691, 694, 695, 697, 698, 699, 701, 703, 705, 706, 707, 709, 710, 713, 714, 715, 717, 718, 719, 721, 723, 727, 730, 731, 733, 734, 737, 739, 741, 742, 743, 745, 746, 749, 751, 753, 754, 755, 757, 758, 759, 761, 762, 763, 766, 767, 769, 770, 771, 773, 777, 778, 779, 781, 782, 785, 786, 787, 789, 790, 791, 793, 794, 795, 797, 798, 799, 802, 803, 805, 806, 807, 809, 811, 813, 814, 815, 817, 818, 821, 822, 823, 826, 827, 829, 830, 831, 834, 835, 838, 839, 842, 843, 849, 851, 853, 854, 857, 858, 859, 861, 862, 863, 865, 866, 869, 870, 871, 874, 877, 878, 879, 881, 883, 885, 886, 887, 889, 890, 893, 894, 895, 897, 898, 899, 901, 902, 903, 905, 906, 907, 910, 911, 913, 914, 915, 917, 919, 921, 922, 923, 926, 929, 930, 933, 934, 935, 937, 938, 939, 941, 942, 943, 946, 947, 949, 951, 953, 955, 957, 958, 959, 962, 965, 966, 967, 969, 970, 971, 973, 974, 977, 978, 979, 982, 983, 985, 986, 987, 989, 991, 993, 994, 995, 997, 998, 1001, 1002, 1003, 1005, 1006, 1007, 1009, 1010 …

 

Liste des nombres premiers >>>

Liste de nombres simples >>>

 

Liste des nombres AVEC facteur carré

  (non square-free)

 

Nombres dont un des facteurs au moins est à une puissance supérieure à 1. Ces nombres sont divisibles par un carré (critère simple pour leur recherche par programmation).

 

4,8,9,12,16,18,20,24,25,27,28,32,36,40,44,45,48,49,

50,52,54,56,60,63,64,68,72,75,76,80,81,84,88,90,92,96,98,99,

100,104,108,112,116,117,120,121,124,125,126,128,132,135,136,140,144,147,148,

150,152,153,156,160, …  La suite se lit en prenant les nombres qui ne sont pas dans la liste ci-dessus.

 

En jaune les triplets de nombres successifs avec carrés.

La liste: 48, 98, 124, 242, 243, 342, 350, 423, 475, 548, 603, 724, 774, 844, 845, 846 …

Quadruplets: 242, 844, 845, 1680, 1681, 2888, 2889, 3174, 3624, 3625, 3750, 5046, 5047, 8475, 8523, 8954 …

Quintuplets: 844, 1680, 2888, 3624, 5046 ….

Voir Plages ci-dessus

 

Quantité de nombres sans carrés

 

Propriété

Les deux seuls nombres avec facteurs carrés de la forme n3 + 1 sont:

 9 = 32  = 23 + 1

12 168 = 23 x 32 x 132 = 233  + 1

 

 

Plages de nombres divisibles par un carré.

2: 8, 24, 27, 44, 63, 75, 80, 116, 120, 135, 147, 152, 168, 171, 175, 188, 207, 224, 260, 275, 279, 288, 296, 315, 324, 332, 360, 363, 368, 375, 387, 404, 440, 459, 495, 507, 512, 524, 528, 531, 539, 567, 575, 584, 620, 624, 636, 639, 656, 675, 692, 711, 728, 735, 747, 764, 783, 800, 819, 824, 832, 836, 840, 855, 867, 872, 875, 891, 908, 924, 927, 931, 944, 960, 963, 975, 980, …

 

3: 48, 98, 124, 342, 350, 423, 475, 548, 603, 724, 774, 1024, 1250, 1274, 1323, 1375, 1420, 1448, 1519, 1664, 1674, 1848, 1862, 1924, 2007, 2023, 2056, 2106, 2150, 2223, 2275, 2348, 2366, 2523, 2527, 2574, 2644, 2824, 2871, 3050, 3123, 3184, 3211, 3248, 3283, 3428, 3474, 3479, 3508, 3548, 3575, 3608, 3698, 3716, 3724, 3771, 3870, 3950, 4023, 4075, 4112, 4148, 4203, 4374, 4418, 4475, 4598, 4624, 4804, 4850, 4912, 4923, 4948, 4959, 4975, 5192, …

 

4: 242, 3174, 3750, 8475, 8523, 8954, 10050, 10827, 11322, 13374, 15775, 16575, 19647, 20574, 21462, 22382, 22831, 23762, 23823, 24450, 26702, 26874, 27547, 28322, 28518, 28674, 29887, 30723, 31407, 31974, 34347, 35450, 35574, 35622, 37386, 39050, 39347, 40050, 41742, 45123, 45175, 46023, 48222, 49147, …

 

5: 844, 1680, 2888, 3624, 5046, 10924, 14748, 15848, 17404, 19940, 22624, 23272, 25772, 29348, 30248, 33172, 36700, 37248, 38724, 39444, 40472, 45372, 47724, 47824, 48372, 49488, …

 

6: 22020, 24647, 30923, 47672, …

7: 217070, …

8: 1092747, …

 

 

 

 

 

Nombre (N) 1 à 1000 AVEC facteur carré (F) mentionné

F est en fait la puissance égale ou supérieure à 2.

 

Liste des nombres PUISSANTS ou plénipotents

  (Powerfull numbers or squarefull numbers)

 

 

Nombres dont tous les facteurs sont à une puissance supérieure à 1.

 

 

4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000, 1024, 1089, 1125, 1152, 1156, 1225, 1296, 1323, 1331, 1352, 1369, 1372, 1444, 1521, 1568, 1600, 1681, 1728, 1764, 1800, 1849, 1936, 1944, 2000, 2025, 2048, 2116, 2187, 2197, 2209, 2304, 2312, 2401, 2500, 2592, 2601, 2700, 2704, 2744, 2809, 2888, 2916, 3025, 3087, 3125, 3136, 3200, 3249, 3267, 3364, 3375, 3456, 3481, 3528, 3600, 3721, 3844, 3872, 3888, 3969, 4000, 4096, 4225, 4232, 4356, 4489, 4500, 4563, 4608, 4624, 4761, 4900, 4913, 5000

 

Programme Maple de recherche des nombres puissants

Ouverture  des logiciels de théorie des nombres. préparation de la liste P des nombres puissants.

Boucle de recherche avec les nombres n de 2 à 100.

Les facteurs de n (F) se trouvent dans le deuxième élément de ifactor.

Là, on isole (E) le deuxième élément (l'exposant de la puissance) de chaque  facteur énoncé dans S.

S'il n'existe pas d'exposants égaux à 1, alors on place ce nombre dans la liste des puissants.

Fin de boucle et impression.

 

Voir Nombres plénipotents ou puissants  /   Programmation – Index

 

 

 

Voir

*  Carrés – Index

*  Sans facteur cube (cube free)

*  Nombre sans facteur avec zéro

*  Nombres carrés

*  Nombres congruents (primitifs)

*  Nombres de Möbius

*  Nombres quatrops ou avec facteurs carrés

*  Premiers entre eux

DicoNombre

*   Accès à tous les nombres cités

Sites

*   OEIS A005117 – Squarefree numbers: numbers that are not divisible by a square greater than 1

*   OEIS A013929 – Numbers that are not squarefree. Numbers that are divisible by a square greater than 1

*   OEIS A001694 – Powerful numbers, definition (1): if a prime p divides n then p^2 must also divide n (also called squareful, square full, square-full or 2-full numbers).

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http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/TYPMULTI/Squarefr.htm