Nombre 123456789 multiplications

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NOMBRE 123 456 789

Multiplication et division des pannumériques tronqués,

directs ou retournés.

Nombre 123456789

et son retourné 987654321

Table de multiplication des pannumériques tronqués

Directs

1 12 123 1 234 12 345 123 456 1 234 567 12 345 678 123 456 789

2 2 24 246 2 468 24 690 246 912 2 469 134 24 691 356 246 913 578

3 3 36 369 3 702 37 035 370 368 3 703 701 37 037 034 370 370 367

4 4 48 492 4 936 49 380 493 824 4 938 268 49 382 712 493 827 156

5 5 60 615 6 170 61 725 617 280 6 172 835 61 728 390 617 283 945

6 6 72 738 7 404 74 070 740 736 7 407 402 74 074 068 740 740 734

7 7 84 861 8 638 86 415 864 192 8 641 969 86 419 746 864 197 523

8 8 96 984 9 872 98 760 987 648 9 876 536 98 765 424 987 654 312

9 9 108 1 107 11 106 111 105 1 111 104 11 111 103 111 111 102 1 111 111 101

Retournés

9 98 987 9 876 98 765 987 654 9 876 543 98 765 432 987 654 321

2 18 196 1 974 19 752 197 530 1 975 308 19 753 086 197 530 864 1 975 308 642

3 27 294 2 961 29 628 296 295 2 962 962 29 629 629 296 296 296 2 962 962 963

4 36 392 3 948 39 504 395 060 3 950 616 39 506 172 395 061 728 3 950 617 284

5 45 490 4 935 49 380 493 825 4 938 270 49 382 715 493 827 160 4 938 271 605

6 54 588 5 922 59 256 592 590 5 925 924 59 259 258 592 592 592 5 925 925 926

7 63 686 6 909 69 132 691 355 6 913 578 69 135 801 691 358 024 6 913 580 247

8 72 784 7 896 79 008 790 120 7 901 232 79 012 344 790 123 456 7 901 234 568

9 81 882 8 883 88 884 888 885 8 888 886 88 888 887 888 888 888 8 888 888 889

Observez les multiplications par 9. Des presque-repdigits!
Combien faut-il ajouter ou soustraire pour obtenir un repdigit?
Solution ci-dessous.

Multiplications et périodes

Nous allons chercher la valeur à ajouter aux multiplications, multiples de 3, ci-dessus pour que les produit devienne un nombre périodique (sur les chiffres existants).

Ex: 123 x 9 = 1 107; en ajoutant 4 => 123 x 9 + 4 = 1 111.
1234 x 9 = 11 106; en ajoutant 5 => 1234 x 9 + 5 = 11 111. Etc.

Observez que le nombre à ajouter semble être le chiffre des unités plus 1. Ceci pour la ligne de la multiplication par 9.

Pour la ligne du 3, prenons également quelques exemples

Ex: 123 x 3 = 369; il manque 1 pour faire 370, la période qui se dessine sur les nombres suivants de la ligne de la multiplication par 3.
123456 x 3 = 370 368; il manque 2.

Idée: si nous prenions le nombre des unités plus 1 comme pour le 9, mais divisé par 3 (car 9/3 = 3).
123 => 4/3 = 1,333… sa partie entière est 1.

123 456 => 7/3 = 2,333… sa partie entière est 2.

Ça semble marcher. Et effectivement ça marche!

Un pannumérique, complet ou tronqué, multiplié par un multiple de 3 (k), est voisin d'un nombre périodique; la différence est égale au produit de k par l'unité du pannumérique plus 1, divisé par 9, différence dont on ne prend que la partie entière.

Ci-dessous, voici la table de multiplication avec les multiples de 3 de 3 à 27

Puis les valeurs de la partie entière des divisions par 9
Et pour finir la table de la somme des deux précédentes qui fournit des nombres périodiques sur les chiffres existants.

Exemple de lecture (cases jaunes)

123 456 x 12 = 1 481 472; Ici, unité = 6 et k = 12.

7 x 12 / 9 = 9,333 … => 9
1 481 472 + 9 = 1 481 481

	1	12	123	1 234	12 345	123 456	1 234 567	12 345 678	123 456 789
3	3	36	369	3 702	37 035	370 368	3 703 701	37 037 034	370 370 367
6	6	72	738	7 404	74 070	740 736	7 407 402	74 074 068	740 740 734
9	9	108	1 107	11 106	111 105	1 111 104	11 111 103	111 111 102	1 111 111 101
12	12	144	1 476	14 808	148 140	1 481 472	14 814 804	148 148 136	1 481 481 468
15	15	180	1 845	18 510	185 175	1 851 840	18 518 505	185 185 170	1 851 851 835
18	18	216	2 214	22 212	222 210	2 222 208	22 222 206	222 222 204	2 222 222 202
21	21	252	2 583	25 914	259 245	2 592 576	25 925 907	259 259 238	2 592 592 569
24	24	288	2 952	29 616	296 280	2 962 944	29 629 608	296 296 272	2 962 962 936
27	27	324	3 321	33 318	333 315	3 333 312	33 333 309	333 333 306	3 333 333 303
Écart
3		1	1	1	2	2	2	3	3
6		2	2	3	4	4	5	6	6
9		3	4	5	6	7	8	9	10
12		4	5	6	8	9	10	12	13
15		5	6	8	10	11	13	15	16
18		6	8	10	12	14	16	18	20
21		7	9	11	14	16	18	21	23
24		8	10	13	16	18	21	24	26
27		9	12	15	18	21	24	27	30
Somme
3		37	370	3 703	37 037	370 370	3 703 703	37 037 037	370 370 370
6		74	740	7 407	74 074	740 740	7 407 407	74 074 074	740 740 740
9		111	1 111	11 111	111 111	1 111 111	11 111 111	111 111 111	1 111 111 111
12		148	1 481	14 814	148 148	1 481 481	14 814 814	148 148 148	1 481 481 481
15		185	1 851	18 518	185 185	1 851 851	18 518 518	185 185 185	1 851 851 851
18		222	2 222	22 222	222 222	2 222 222	22 222 222	222 222 222	2 222 222 222
21		259	2 592	25 925	259 259	2 592 592	25 925 925	259 259 259	2 592 592 592
24		296	2 962	29 629	296 296	2 962 962	29 629 629	296 296 296	2 962 962 962
27		333	3 333	33 333	333 333	3 333 333	33 333 333	333 333 333	3 333 333 333

Division des pannumériques et retournés
Exploitation de deux propriétés de toute beauté.	Relation simple entre le pannumérique et son retourné: Simplification singulière des fractions
Division	= 8,0000000729 000006 ….
Curiosité	Si vous faites cette opération sur votre calculette vous obtenez généralement 8,0000001. Sur celle de votre ordinateur en mode standard, vous avez
Duplication
Notez que ces nombres sont divisibles par 9