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RANG (ou numéro)

des nombres PALINDROMES

Quel est le numéro de chaque nombre palindrome?

Propriétés. Calculs.

Approche
Listons les nombres palindromes en séquence: colonne de droite. Nous ignorons les palindromes triviaux formés d'un seul chiffre. La colonne centrale donne le rang du palindrome et celle de gauche donne le rang pour une quantité de chiffres donnée. Observations Palindromes à deux chiffres: égaux au doublement du chiffre du rang. Palindromes à trois chiffres: formés avec les seuls chiffres du rang. Même, plus précisément, il s'agit du rang complété par le chiffre des dizaines du rang (normal pour obtenir un palindrome). Il y a 9 nombres palindromiques à deux chiffres.

Quantité de nombres palindrome

Deux chiffres

Neuf possibilités pour les dizaines (de 1à 9)

Le chiffre des unités est identique.

Total: 9 possibilités.

Trois chiffres

Neuf possibilités pour les centaines.

Le chiffre des unités est identique.

Le chiffre central des dizaines prend toutes les valeurs de 0 à 9

Total: 9 x 10 = 90 possibilités.

Quatre chiffres

Neuf possibilités pour les milliers. Impose les unités

Dix possibilités pour les centaines. Impose les dizaines.

Total: 9 x 10 = 90 possibilités

Cinq chiffres

Neuf possibilités pour les dix-milliers. Impose les unités

Dix possibilités pour les milliers. Impose les dizaines.

Dix possibilités pour le chiffre central

Total: 9 x 10 x 10 = 900 possibilités

Tableau

Quantité de chiffres	Quantité de nombres palindrome	Le dernier	Son rang
2	9	99	9
3	90	999	99
4	90	9 999	189
5	900	99 999	1 089
6	900	999 999	1 989
7	9 000	9 999 999	10 989
8	9 000	…	…
9	90 000

La quantité de nombres palindromes = 90…0 avec Z fois le chiffre 0.

Z = (C/2-1) arrondi au chiffre supérieur.

avec C = quantité de chiffres des nombres palindrome

Exemple: C = 6 => Z = (3-1)/2 = 2 et Q = 900

C = 5 => Z = (2,5-1)/2 = 1,5 => 2 et Q = 900.

Calcul du rang d'un nombre palindrome

Soit le 2012^e nombre palindrome. Quel est sa valeur? Le tableau ci-dessus montre qu'il a 7 chiffres. Le 1989^e => 999 999. Le suivant: 1990^e => 100 0 001. 1991^e => 100 1 001 …. 1999^e => 100 9 001 2000^e => 101 0 101 2009^e => 101 9 101 2010^e => 102 0 201 2011^e => 102 1 201 2012^e => 102 2 201 Notez que ce palindrome est fait des mêmes chiffres que ceux de son rang (0, 1 et 2). C'est le cas également pour 2010 et 2011. C'est le cas, en fait, pour toute la décade de 2010 à 2019.

Mêmes chiffres

Tous les nombres palindromes de 11 à 1001 sont formés des mêmes chiffres que ceux de leur rang:

99^e =>	999
100^e =>	1001
101^e =>	1111

On retrouve cette propriété par décade de nombres:

Bilan

La quantité de palindromes selon la quantité de chiffre est un nombre en 90 … 0 dont on connait facilement la quantité de 0.

Les 100 premiers nombres palindromes utilisent les mêmes chiffres que ceux de leur rang.

Le calcul du rang d'un palindrome donné ou du palindrome de rang donné est faisable à partir de la table donnée dans cette page.

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DicoNombre	Nombre 90 Nombre 100 Nombre 111 Nombre 900
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