Suites, méthodes des différences et coefficients binomiaux

La méthode des différences successives conduira à la mise en évidence des coefficients binomiaux (le triangle de Pascal). Un moyen pratique pour résoudre quantité de problèmes sur les suites de nombres, notamment le calcul simple de formules comme, par exemple celle de la somme des cubes.

Sommaire de cette page

>>> Trouver le premier terme d'une k-différence

>>> Exemple et formulation

>>> Exemple de calcul avec cinquième différence

>>> Calcul du nième élément

>>> Formule de la somme de n termes

Débutants

Dénombrement

Glossaire

Compter

Trouver le premier terme d'une k-différence

haut

k-différence

Une suite numérique est une énumération de nombres (y) dont le rang est donné par la suite des nombres entiers (x).

La première différence d₁ est celle calculée entre les éléments successifs de la suite.

La k-différence d_k est celle calculée entre les différences k-1 successives.

Notre but est de trouver le premier nombre de chaque k-différence.
Ex: trouver rapidement les valeurs d₁ = 2 et d₃ = 2 de cette suite y.

x	0	1	2	3	4	5
y	1	3	7	13	21	31
d₁		2	4	6	8	10
d₂			2	2	2	2

Calcul des k-différences

Nommons (a, b, c, d, …) la suite y des nombres.

Calculons les différences sur la ligne précédente.

x	0	1	2	3	4	…
y	a	b	c	d	e	…
d₁		b-a	c-b	d-c	e-d
d₂			c-2b+a	d-2c+b	e-2d+c
d₃				d-3c+3b-a	e-3d+3c-b

Celles qui retiennent notre attention sont celles de tête, en jaune.

Comment les calculer sans développer le tableau ?

Notre seule connaissance est la valeur du premier terme (a) et les différences de tête d₁, d₂, d₃ ….

Logique de la construction

Coefficients binomiaux

On reprend le tableau précédent et on essaie de trouver la logique de formation des différences successives.

Après avoir calculé la première différence d₁, on reporte des valeurs sur la ligne du bas en décalant et en opposant la valeur. En explicitant la soustraction, on montre comment est calculée la prochaine différence (rouge).

On observe que, au signe près, les coefficients qui se créent sont les nombres du triangle de Pascal, autrement-dit, les coefficients binomiaux.

Ex: sur la dernière ligne, on a: 1, 4, 6, 4, 1

Tableau de construction des k-différences

Exemple et formulation

haut

Suite

Suite à travailler: 1, 8, 27, 64, 125 (ce sont les valeurs de x+1 au cube).

On se propose de calculer les nombres de tête des k-différences.

On les connait en développant le tableau des différences, mais voyons le résultat via l'utilisation des nombres du triangle de Pascal.

Pour info

Tableau des résultats attendus

n	0	1	2	3	4
y	1	8	27	64	125
d₁		7	19	37	61
d₂			12	18	24
d₃				6	6
d₄					0

Triangle de Pascal

	0	1	2	3	4
1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1

Exemple de calcul d'un coefficient

Mêmes nombres dans la fraction puis les suivants, autant que le nombre du bas.

d₂n = 2

Les trois coefficients de la ligne 2 du triangle de pascal (1, 2, 1) servent à pondérer les trois premières valeurs de la suite (1, 8, 27). La somme est alternée.

d₃n = 3

d₄n = 4

Formulation

Avec les coefficients binomiaux

et leur forme développée

La formule s'applique pour les rangs pairs et l'opposée pour les rangs impairs
(voir le signe de "a" dans le tableau de construction) .

Deux formes possibles pour la formule:

avec les coefficients binomiaux, ou

avec leur forme développée.

Valeur de tête des différences kièmes. Pour la différence dixième, n = 10, par exemple.

Il s'agit de la somme alternée, dont le sens dépend de la parité du rang, des premières valeurs de la suite pondérées par les coefficients binomiaux.

Formule explicitée pour quatrième différence constante

Exemple de calcul avec cinquième différence

haut

Suite: 3⁰, 3¹, 3², 3³, 3⁴, 3⁵, …

On veut calculer le nombre de tête de la différence cinquième.

Le rang est impair, il faut prendre la valeur opposée.

Les coefficients du binôme sont: 1, 5, 10, 10, 5, 1.

d_5T = – ( 1 – 3×5 + 9×10 – 27×10 + 81×5 – 243 )
= – ( 1 – 15 + 90 – 270 + 405 – 243) = 32

Remarque importante

Cette suite de puissances ne produit jamais de différence nulle. C'est une suite exponentielle et non pas polynomiale.

Calcul des différences successives

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8
y	1	3	9	27	81	243	729	2187	6561
1		2	6	18	54	162	486	1458	4374
2			4	12	36	108	324	972	2916
3				8	24	72	216	648	1944
4					16	48	144	432	1296
5						32	96	288	864
6							64	192	576
7								128	384
8									256

Calcul du nième élément

haut

Construction du tableau ci-dessous

1^ère colonne: reprenons l'expression des nombres de tête.

2^e colonne: calculons les valeurs de a, b, c, d, …

3^e colonne: remplaçons b, c, d … autant que possible par les nombres d_i de tête de chaque différence.

Bilan

La troisième colonne (à droite) montre à nouveau un procédé de création des coefficients du binôme.

Exemple

n	1	2	3	4	5
y	1	4	8	13	19
d₁		3	4	5	6
d₂			1	1	1

Vérification

La suite: (1, 4, 8, 13, 19, 24, 30, 37, 45, 54, 64, …)

Question

Donner le dixième nombre de la série

Nécessite

Les trois premiers nombres de la ligne 10 du triangle de Pascal: 1, 9, 36.

Trois valeurs, pour atteindre une différence constante.

Calcul pour n = 10

Formule

Valeur du nième élément d'une suite connaissant les valeurs de tête d_i des k-différences successives (attention: signe + partout):

Exemple

n	1	2	3	4	5
y	1	8	27	64	125
d₁		7	19	37	61
d₂			12	18	24
d₃				6	6

Question

Donner le douzième nombre de la série

Nécessite

Quatre termes pour atteindre une différence constante.

Calcul pour n = 12

Nombre qui est bien le cube de 12.

Cas du partage du cercle

Voir Partage du cercle

y₀ = 1

d = {1, 1, 1, 1}

Tous calculs faits:

Voir Brève 849

Formule de la somme de n termes		haut
Calcul des premières sommes (tableau) Les nombres de la suite (b, c, d, …) sont remplacés par leur valeur en fonction des différences (comme calculé précédemment). S1, S2 … sont les nombres de la suite et SC1, SC2 … sont les sommes cumulés. Observation On retrouve les coefficients du binôme. Remarquez que ceux de SC4, par exemple, sont également ceux S5. Ce qui va se traduire dans la formulation.
Formule Note: a = y₀	Somme des n premiers termes d'une suite en fonction des nombres de tête des différences successives: La somme est égale à: n fois la valeur du premier terme de la série, et la somme des nombres de tête des différences, pondérés par les coefficients du binôme, commençant par (n, 2).

APPLICATIONS

Somme des impairs

y	1	3	5	7	9
d₁		2	2	2	2

Voir Somme des impairs

Somme des carrés

y	1	4	9	16	25
d₁		3	5	7	9
d₂			2	2	2

Voir Somme des carrés

Somme de cette suite

y	1	3	6	10	15
d₁		2	3	4	5
d₂			1	1	1

Somme des cubes

y	1	8	27	64	125
d₁		7	19	37	61
d₂			12	18	24
d₃				6	6

Voir Somme des cubes

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