Suites et méthodes des différences

Édition du: 28/01/2022

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Brèves de Maths

INDEX

Suites

Combinatoire

Sommes de nombres

SUITES – Méthode des différences

Calculs sur les suites

Polynômes représentatifs

Coefficients binomiaux

Fractions

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SUITES – Méthode des différences
Calculs sur les suites

Étant donnée une suite, une liste de nombres repérés par leur position;
Trouver la formule générale qui permet de calculer tous ces nombres connaissant leur position.

Ex: suite: [1, 3, 7, 13, …] , quel est le nombre suivant ?
Ici, c'est 31, le cinquième nombe; la formule de calcul est y = x² + x + 1 pour x = 5.

Ces pages montrent:

Comment reconnaitre si la suite est "régulière" (s'il est possible d'établir une formule); et

Comment établir cette formule en calculant les différences successives entre les éléments de la suite.

Sommaire de cette page

>>> Suites et série numériques

>>> Méthode des différences – Principe

Débutants

Dénombrement

Glossaire

Compter

Anglais: The method of difference, summing series by the difference method

Suites et série numériques		haut
Suites et séries numériques	La suite numérique est une énumération de nombres repérés par un indice d'ordre. La série d'indice n est la somme des n premiers termes de la suite. Pour les suites comme pour les séries, deux types de préoccupations: comment calculer le terme de rang k; et trouver une formulation résumant la suite. Dans le cas des séries, on se pose aussi la question de savoir si la série infinie est convergente ou non.
Calculs sur les suites	Trouver les formules par induction ou autres méthodes >>> Trouver les formules par la méthode des différences: Bases de la méthode des différences >>> Résolution d'un système d'équations >>> Résolution par les nombres de têtes des différences >>> Utilisation des combinaisons et des coefficients binomiaux >>> Méthode des fractions partagées >>>

Méthode des différences – Principe

haut

Différences d'ordres successifs

La première différence d₁ est celle calculée entre les éléments successifs de la suite.

Exemple

x	0	1	2	3	4	5
y	1	3	7	13	21	31
d₁		2	4	6	8	10
d₂			2	2	2	2

La deuxième différence d₂ est celle calculée entre les différences première successives.
Ex: sur ce tableau la deuxième différence d₂ est toujours égale à 2.

Polynôme de degré k

Avec une deuxième différence constante, le polynôme représentatif de la série sera du deuxième degré.
Ex: Ici, il s'agit de: y = x² + x + 1.
En effet avec x = 5, on a bien: 5² + 5 + 1 = 31.

Théorème

Avec une kième différence constante, le polynôme représentatif de la série sera du degré k.

Pas toujours !

Il est possible qu'en dressant la liste des k-différences, on n'obtienne jamais de valeur constante.

La représentation de cette série n'est pas polynomiale. Elle peut être quelconque, parfois exponentielle. Voir Exemple

Pour info: différences finies**

La méthode des différences finies est une façon de trouver des solutions approchées aux équations aux dérivées partielles.

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Voir	Énigmes en séquence Fonctions génératrices Séquences numériques Série 1 + 2x + 3x² + ... Suite d'Euclide-Mullin Suite de Kolakoski Suite de la copie augmentée	Suite de l'artiste ou des 2/3 Suite harmonique déguisée Hofstadter–Conway Suite logistique Suite qui rend fou Suites fractales Test de la divergence
Livre	An elementary treatise on algebra, theoritical and practical – JR. Young – 1832 – Pages 246 et suite
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Suite/aSuite/SuiDif01.htm