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Nombres et

leurs chiffres en puissance

Trouvez des égalités entre deux nombres et la somme des puissances de leurs chiffres.

Exemples

136 = 2³ + 4³ + 4³ & 244 = 1³ + 3³ + 6³

919 = 1³ + 4³ + 5³ + 9³ & 1459 = 9³ + 1³ + 9³

ou encore

19³ = 6 859 & 6 + 8 + 5 + 9 = 28

28³ = 21 952 & 2 + 1 + 9 + 5 + 2 = 19

APPROCHE
On connaît les nombres narcissiques comme 153, 171, 1634 …. Ici, nous allons nous intéresser aux couples narcissiques Trouver un couple de nombres tel que: la somme des puissances des chiffres de l'un soit égale à la somme des puissances des chiffres de l'autre. On peut imaginer d'autres égalités.	Narcissique 153 = 1^3 + 5^3 + 3^3 Exemples 23 et 139 2^3 + 3^3 = 1 + 3 + 9 = 13 21 et 322 2^4 + 1^4 = 3^2 + 2^2 + 2^2 = 17 136 = 2^3 + 4^3 + 4^3 & 244 = 1^3 + 3^3 + 6^3

CARACTÉRISATION des diverses égalités
Deux nombres ayant jusqu'à trois chiffres.
La somme de leurs chiffres à une certaine puissance.	SA = a^p + b^p + c^p SE = e^q + f^q + g^q
Premier type de recherche. Égalité de la somme des chiffres en puissance.	SA = SE
Deuxième type de recherche. Somme des chiffres en puissance de l'un égale à l'autre nombre.	A = SE & E = SA
Deux nombres ayant jusqu'à trois chiffres portés à puissance p pour l'un et q pour l'autre.
La somme de leurs chiffres à une certaine puissance.	SAa = r^p + s^p + t^p + … SEb = u^q + v^q + x^q + …
Troisième type de recherche. Somme des de l'un à une puissance égale à l'autre nombre.	SAa = SEb
Quatrième type de recherche. Somme des de l'un à une puissance égale à l'autre nombre.	A = SEb & E = SAa

Illustration

PREMIER TYPE – SA = SE

En se limitant à trois chiffres pour chacun des nombres A et E, il existe 69 772 solutions dont 5 222 non triviales, mais y compris les permutations possibles. Exemples au hasard 12 et 14 => 1^4 + 2^4 = 1^2 + 4^2 = 17 21 et 14 => 2^4 + 1^4 = 1^2 + 4^2 = 17 22 et 44 => 2^4 + 2^4 = 4^2 + 4^2 = 32 192 et 378 => 1^4 + 9^4 + 2^4 = 3^4 + 7^4 + 8^4 = 6 578 999 et 603 => 9^2 + 9^2 + 9^2 = 6^3 + 0^3 + 3^3 = 243 921 et 763 => 9^4 + 2^4 + 1^4 = 7^4 + 6^4 + 3^4 = 6 578 Vous noterez que ces égalités restent valables si on permute les chiffres: 9^4 + 2^4 + 1^4 = 1^4 + 9^4 + 2^4 Exemples triviaux 998 et 989 => 9 + 9 + 8 = 9 + 8 + 9 = 26 998 et 989 => 9^2 + 9^2 + 8^2 = 9^2 + 8^2 + 9^2 = 226 998 et 989 => 9^3 + 9^3 + 8^3 = 9^3 + 8^3 + 9^3 = 1970 Si la somme des entiers est égal, normal que les sommes des mêmes puissances soient égales. Il est possible de former une telle égalité avec pratiquement tous les nombres et en plusieurs motifs. Les nombres suivants font exception: 10, 11, 16, 20, 26, 30, 37, 40, 46, 50, 60, 61, 62, 64, 68, 70, 73, 79, 80, 86, 89, 90, 97, 98, 100, 101 …

Deuxième type – A = SE & E = SA

136 = 2^3 + 4^3 + 4^3 & 244 = 1^3 + 3^3 + 6^3 919 = 1^3 + 4^3 + 5^3 + 9^3 & 1459 = 9^3 + 1^3 + 9^3 2 178 = 6^4 + 5^4 + 1^4 + 4^4 & 6 514 = 2^4 + 1^4 + 7^4 + 8^4 58 618 = 7^5 + 6^5 + 4^5 + 3^5 + 8^5 & 76 438 = 5^5 + 8^5 + 6^5 + 1^5 + 8^5 Voici le bilan en tableau (vous y reconnaissez les couples cités ci-dessus) En colonne la quantité de chiffre dans les nombres; et En ligne la puissance appliquée aux chiffres. En rouge les motifs en couple; en noir, les narcissiques.

Troisième type – SAa = SEb

CUBES Égalité de la somme des chiffres des cubes. Il existe une infinité de cas triviaux du type: 2 => 2^3 = 8 & 200 => 200^3 = 8 000 000 => 8 Moins banal: 2 => 2^3 = 8 & 5 => 5^3 = 125 => 8 2 => 2^3 = 8 & 8 => 8^3 = 512 => 8 3 => 3^3 = 27 => 9 & 6 => 6^3 = 216 => 9 9 => 9^3 = 729 => 18 & 81 => 81^3 = 531 441 => 18 12 => 12^3 = 1728 => 18 & 24 => 24^3 = 13 824 => 18 12 => 12^3 = 1728 => 18 & 48 => 48^3 = 110 592 => 18 Tous les nombres jusqu'à 1000 dont la somme des chiffres du cube est égale à 18: Pour tout couple de deux de ces nombres notre égalité est vraie. Cette propriété n'est pas propre au nombre 18; les nombres 10, 17, 18 19 sont prolixes en telles égalités: 4 => 4^3 = 64 => 10 & 7 => 7^3 = 343 => 10 14 => 14^3 = 2 744 => 17 & 17 => 17^3 = 4 913 => 17 14 => 14^3 = 2 744 => 17 & 23 => 23^3 = 12 167 => 17 9 => 9^3 = 729 => 18 & 12 => 12^3 = 1 728 => 18 9 => 9^3 = 729 => 18 & 15 => 15^3 = 3 375 => 18 13 => 13^3 = 2 197 => 19 & 16 => 16^3 = 4 096 => 19 13 => 13^3 = 2 197 => 19 & 22 => 22^3 = 10 648 => 19 13 => 13^3 = 2 197 => 19 & 25 => 25^3 = 15 625 => 19 19 => 19^3 = 6 859 => 28 & 31 => 31^3 = 29 791 => 28 …

Quatrième type – A = SEb & E = SAa
Carrés Cubes Bicarrés Puissance 5	13^2 = 169 & 1 + 6 + 9 = 16 16² = 256 & 2 + 5 + 6 = 13 19^3 = 6 859 & 6 + 8 + 5 + 9 = 28 28^3 = 21 952 & 2 + 1 + 9 + 5 + 2 = 19 18^4 = 104 976 & 1+0+4+9+7+6 = 27 27^4 = 531 441 & 5+3+1+4+4+1 = 18 23^5 = 6 436 343 & 6+4+3+6+3+4+3 = 29 29^5 = 20 511 149 & 2+0+5+1+1+1+4+9 = 23 31^5 = 28 629 151 & 2+8+6+2+9+1+5+1 = 34 34^5 = 45 435 424 & 4+5+4+3+5+4+2+4 = 31
Puissance 6 Puissance 7 Puissance 8 Puissance 9	/ 38 & 47 => 114415582592, 506623120463 44 & 62 => 319277809664, 3521614606208 46 & 55 => 435817657216, 1522435234375 56 & 65 => 1727094849536, 4902227890625 Coquetterie avec chiffres retournés 64 & 73 => 281474976710656, 806460091894081 35 & 80 => 78815638671875, 134217728000000000

Puissances croisées

25^5, 40^8, 9765625, 6553600000000 Rappel: cela veut dire que la somme des chiffres de 976… est égale à 40 et celle de 655… est égale à 25. 25^5, 40^11, 9765625, 419430400000000000 46^6, 64^7, 9474296896, 4398046511104 72^9, 99^10, 51998697814228992, 90438207500880449001 73^9, 91^10, 58871586708267913, 38941611811810745401 62^9, 71^11, 13537086546263552, 231122292121701565271 52^10, 70^13, 144555105949057024, 968890104070000000000000 63^11, 90^13, 62050608388552823487, 25418658283290000000000000 63^11, 90^15, 62050608388552823487, 205891132094649000000000000000 63^11, 90^16, 62050608388552823487, 18530201888518410000000000000000 81^11, 90^18, 984770902183611232881, 150094635296999121000000000000000000

Bilan

À la recherche de pépites avec les chiffres des couples de nombres portés à une puissance, les trouvailles sont rares. Elles ne sont guère plus nombreuses que celles indiquées en introduction.

Par contre, lorsqu'il s'agit de l'égalité entre un nombre et la somme des chiffres de la puissance d'un autre, la moisson est plus fructueuse.

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