NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 24/02/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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PARTITIONS particulières Comment s'y retrouver?
Décomposition particulières d'un nombre en sommes de nombres. Base des Carrés magiques Vers la Conjecture de Goldbach Partitions – Fonctions génératrices Partitions – Théorie Aller directement à l'index >>>	Exemple de curiosités: cubes et chiffres Voir Nombres et chiffres en puissance

PARTITION – Principe
On décompose un nombre n en sommes. On dénombre la quantité possible de telles sommes. On peut aussi trouver la quantité de sommes à deux termes: bipartition; ou à trois termes: tripartition; etc.

Voir Partitions – En bref

S'Y RETROUVER

Les partitions 

Il existe une grande variété de problèmes concernant les partitions.

On a vu la partition en somme d'un nombre donné de termes: comme la tripartition.

On peut s'intéresser à chaque terme en tant que premier, puissance, ou différent des autres, ou même formé de tous les chiffres …

ENTIERS - Partitions classiques

Voir

Combien

Bi partition

Tri partition

N - partition

ENTIERS - Partitions particulières

Voir

Différents

Chiffres

Premiers BI

Premiers TRI

PUISSANCES

N est une puissance somme de puissances

Sommes de puissance

Combien de termes

Combien de fois

La quantité de questions posées avec les puissances est telle qu'une nomenclature s'impose.
Je propose la suivante qui est inspirée du site:

Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers

par Jean-Charles Meyrignac

Voir Puissance concaténation de puissances

SOMME DE PUISSANCES – Tous les types

NOMENCLATURE des problèmes posés avec des sommes de puissances Notations Prenons 25: C'est le premier carré, somme de deux carrés (non nuls) 25 = 5² = 3² + 4² On note cette égalité avec trois nombres: (2 / 1, 2) 2 : la puissance, indiquée en tête 1 : la quantité de termes à gauche du signe égal 2 : celle à droite On sous-entend souvent qu'il s'agit de la plus petite égalité possible. On peut ajouter un nombre pour donner la quantité de sommes non triviales 4 225 = 65² = 16² + 63² = 25 + 60² = 33² + 56² = 39² + 52² => (2 / 1, 2 / 4) De façon générique on note: N => (p / n, m / q)

Exemples de notations

Selon les valeurs ou contraintes imposées à p, n, m, q, on distingue divers types de problèmes avec les puissances.

Par exemple: Les triplets de Pythagore

p = 2, n = 1, m = 2

(2 / 1, 2 / -)

x ² = y ² + z ²

Autre exemple: Le théorème de Fermat-Wiles dit que:

Pour p > 2, n = 1 et m = 2 est impossible

(p / 1, 2 / -)

x ^p = y ^p + z ^p

Type de problèmes avec les puissances

p = puissance, valeur de l'exposant

n = quantité de termes à gauche

m = quantité à droite

q = quantité de sommes non triviales

Note: pour les partitions classiques voir l'index

p	n	m	q	Formulation	Nom	Liens
					Carrés et somme de nombres consécutifs	>>>
1	n	-	q	N = a1 +…+ an	n-Partitions	>>>
2	0	2	q	N = a1^2 + a2^2	Somme de 2 carrés	>>>
				N = a1^2 - a2^2	Différence de 2 carrés. Curiosités	>>> >>>
2	1	2	q	N = a1^2 = b1^2 + b2^2	Triplets de Pythagore	>>>
2	0	3	q	N = a1^2 + a2^2 + a3^2	Somme de 3 carrés	>>>
2	1	n	1	N = a1^2 = b1^3 + b2^3 + …	Carré somme de cubes	>>>
2	0	4		N = a1^2 + … + a4^2	Théorème: Tous les nombres sont somme de 4 carrés	>>>
2				N = n² + (n+1)² + …	Somme de k carrés de nombres consécutifs à partir de n	>>>
3	0	2	q	N = a1^3 + a2^3	Somme de 2 cubes	>>>
3	0	3	q	N = a1^3 + a2^3 + a3^3	Somme de 3 cubes	>>>
3	1	3	q	N = a1^3 = b1^3 + b2^3 + b3^3	Cube, somme de 3 cubes	>>>
3				N = n² + (n+1)² + …	Somme de k cubes de nombres consécutifs à partir de n	>>>
p	n	0	-	N = a1^p +…+ an^p N	Partition en puissances: trouver le nombre minimum de termes valable pour tous les nombres: Waring	>>>
p	n	0	-	N = a1^p +…+ an^p N min	Idem, mais pour tous les nombres supérieurs à N minimum
p	n	0	q	N = a1^p +…+ an^p avec q max	Nombre multi somme de puissances	>>>
p	n	0	q	N = a1^p +…+ an^p avec p = 1 à q	Sommes multi puissantes	>>>
p	n	m	-	N = a1^p +…+ an^p = b1^p +…+ bm^p	Égalité de sommes de puissances
p	1	2	-	N = x ^p = y ^p + z ^p	Théorème de Fermat-Wiles: Aucune solution pour p > 2	>>>
p	n	n	-		Même nombre de termes ajoutés à une certaine puissance
p	p	p	-	N = a1^p +…+ ap^p = b1^p +…+ bp^p	Nombre de termes égal à la valeur de la puissance
p	p+1	p+1	-		Un terme de plus que la valeur de la puissance

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Sites	Sites sur les sommes de puissances Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers – Euler net – Tableaux récapitulatifs des connaissances Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers – Jean-Charles Mérignac Equal Sums Of Like Powers – Chen Shuwen Diophantine Equation – 4th Powers. From MathWorld – A Wolfram Web Resource. Sum of Fourth Powers – Tito Piezas A Collection of Algebraic Identities Equal Sums of Like Powers and the Prouhet-Tarry-Escott (PTE) Problem – Tito Piezas A Survey of Equal Sums of Like Powers – By L. J. Lander, T. R. Parkin and J. L. Selfridge
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