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Édition du: 09/03/2024 M'écrire Brèves de Maths

INDEX Polygones Carrés Géométrie Dénombrement Jeux et énigmes	QUADRILATÈRES – Compter
	Quadrilatère	Triangles dans rectangle	Grille & segments
	Carré	Triangle dans le carré	Grille & tous segments
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	Trapèze	Carré (un) dans le carré	Grille & triangles équilatéraux
	Parallélogramme	CARRÉS dans le carré	Grille & carrés
	Losange	Carrés dans rectangle
	Polygones	Rectangles dans carré	Rectangles – Énigmes
		Rectangle dans rectangle	Pièce de puzzle
		Quadrilatère dans le carré

Quantité de segments dans une grille Nombres quadrillages Dessinez un quadrillage et amusez-vous à compter les segments élémentaires. La formule donnant la quantité de segments est extraordinairement simple! Une série de nombres qui côtoie les nombres triangulaires, les nombres carrés centrés, les triplets de Pythagore ou encore les belles égalités de comme de carrés consécutifs.
	Sommaire de cette page >>> En bref >>> Dénombrement >>> Liste >>> Égalité de sommes de carrés consécutifs >>> Triplets de Pythagore	Débutants Géométrie Glossaire Géométrie

En bref sur un exemple

12 = 2 (2 x 3) = 4 T2 = CC2 – 1 = 2² + 3² – 1 5² + 12² = 13² 10² + 11² + 12² = 13² + 14²

Nombre quadrillage: 12 traits dans une grille 2x2. Quatre fois le deuxième nombre triangulaire. Nombre carré centré moins 1. Somme de deux carrés moins 1. Nombre central d'un triplet de Pythagore jumeau. Nombre central de cette somme de carrés. Ensemble, ces propriétés sont communes à toute une série de nombres: 4, 12, 24, 40 …

Voir Nombre 12 – DicoNombre

Dénombrement
Observations Le carré comporte, bien évidemment quatre côtés. Avec une grille de 2 x 2 carrés, on compte 12 segments: 3 x 2 = 6 segments horizontaux et 3 x 2 = 6 segments verticaux. Avec une grille de 3 x 3 carrés, on compte 24 segments: 4 x 3 = 12 segments horizontaux et 4 x 3 = 12 segments verticaux. On constate une logique de comptage. Appliquons la à la grille 4 x 4 5 x 4 = 20 segments horizontaux et 4 x 4 = 20 segments verticaux. Conclusion La formule générale est indiquée sur l'illustration. On y reconnait le produit de deux nombres consécutifs, d'où la formulation avec les nombres triangulaires Tn.	Quadrillage de n = 1 à n = 4 Théorèmes La quantité de segments pour une grille nn est égale à quatre fois le nombre triangulaire d'ordre n. On passe de la grille n à la grille n + 1 en ajoutant quatre fois n + 1.

Liste des valeurs des nombres quadrillages: Qn
Formules Qn = 2n (n + 1) Qn+1 = Qn + 4 (n + 1) Programmation (Maple) Rapprochement Ajoutez 1 à cette liste, et vous obtenez la liste des nombres carrés centrés qui est aussi la somme de deux carrés consécutifs: CCn = 2n (n + 1) + 1 = (n + 1)² + n²	Liste des 100 premiers 4, 12, 24, 40, 60, 84, 112, 144, 180, 220, 264, 312, 364, 420, 480, 544, 612, 684, 760, 840, 924, 1012, 1104, 1200, 1300, 1404, 1512, 1624, 1740, 1860, 1984, 2112, 2244, 2380, 2520, 2664, 2812, 2964, 3120, 3280, 3444, 3612, 3784, 3960, 4140, 4324, 4512, 4704, 4900, 5100, 5304, 5512, 5724, 5940, 6160, 6384, 6612, 6844, 7080, 7320, 7564, 7812, 8064, 8320, 8580, 8844, 9112, 9384, 9660, 9940, 10224, 10512, 10804, 11100, 11400, 11704, 12012, 12324, 12640, 12960, 13284, 13612, 13944, 14280, 14620, 14964, 15312, 15664, 16020, 16380, 16744, 17112, 17484, 17860, 18240, 18624, 19012, 19404, 19800, 20200, … Liste avec rang

Voir Programmation – Index

Égalité de sommes de carrés consécutifs
Le nombre qui précède le signe égal à Q: Qn = 2n (n + 1) = 4Tn

Voir Somme de carrés consécutifs = somme de carrés consécutifs

Triplets de Pythagore
Les Qn représentent également les termes des triplets de Pythagore jumeaux par l'hypoténuse tels que: a² + b² = (b + 1)² b est un nombre quadrillage, et b + 1 est un nombre carré centré.

Merci à Jean-Louis Breuil pour l'idée de cette page

Suite	Grille & tous types de segments Quantité de droites passant par n points sur une grille Quantité de carrés dans le quadrillage d'un rectangle Constructions élémentaires: rectangle Le terrain de basket Losange Pavage avec des rectangles Quadrilatères – Juniors
Voir	Allumettes en carrés Allumettes et quadrillage Carré Construction à la règle et au compas Dénombrer – Index DicoMot Maths Énigmes classiques Ensembles – les compter Géométrie Pentominos Jeux – Index
Sites	OEIS – A046092 – 4 times triangular numbers: a(n) = 2*n*(n+1) OEIS – A001844 – Centered square numbers: a(n) = 2*n*(n+1)+1. Sums of two consecutive squares
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Carre/SegGrill.htm