NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 26/12/2024 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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LOSANGE

Un parallélogramme + : quatre côtés de même longueur.

ou un carré – : angles égaux deux à deux, droits ou pas.

Ancien nom: rhombe (aujourd'hui: un losange quelconque, non carré)

Anglais: rhombus or rhomb

Espagnol: rombo

Voir Place du losange dans la famille des quadrilatères

Renault est la marque au losange.

Voir Voitures

Exemples de losanges particuliers

Chacun des quatre triangles est formé par l'assemblage de deux triangles rectangles (3, 4, 5). Le triangle bleu (5, 5, 8), doublé, forme un losange de côté 5. Le triangle vert (5, 5, 6), doublé, forme un losange de côté 5, identique au précédent. Les diagonales des losanges mesurent 8 et 6, des nombres entiers. Les côtés de ces triangles sont entiers et, ils ont une aire égale à 12, un nombre entier.

Voir Triangles entiers de même aire

LOSANGE
Un quadrilatère convexe est un losange si et seulement si l'une des propositions suivante est satisfaite: Ses quatre côté ont même longueur. Ses diagonales sont bissectrices des angles internes. Ses diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu. Parallélogramme dont deux côtés consécutifs ont même longueur. Parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires. Parallélogramme avec une diagonale bissectrice d'un angle interne.	Le losange: un carré aplati ! Voir Pythagore
Propriétés Le losange est une figure plane. Le losange est formé de quatre triangles rectangles identiques accolés. Les côté opposés sont parallèles. Les diagonales se coupent à angle droit en leur milieu. Elles sont les bissectrices de ses angles. Chacune est la médiatrice de l'autre. Les angles opposés d'un losange ont la même mesure deux à deux. Un losange a au moins deux axes de symétrie : ses diagonales. Deux angles adjacents ajoutés forment un angle plat (180°). Toute droite passant par le milieu de deux côtés opposés partage la surface en deux parties égales. La somme du carré des côtés égal la somme des carrés des diagonales: 4a² = d² + h² Le losange possède un cercle inscrit: tangent aux quatre côtés. À la fois: parallélogramme et pseudo-carré (cerf-volant; anglais kite). Il lui faut peu de chose pour devenir carré: diagonales de même longueur, ou un angle droit.

Géométrie – Formules
Aire du losange: demi-produit des longueurs des diagonales. Visible en composant l'un des deux rectangles de même aire.

Voir Aire et volume du rhomboèdre / Application au demi-cercle inscrit dans le triangle isocèle

Construction de certaines racines de nombres avec le losange

Racine des nombres en n² + n + 1

On construit uns suite de triangles équilatéraux accolés.

Ils forment d'abord un losange, puis des parallélogrammes (losanges accolés)

Les diagonales roses, pour n losanges accolés, chacun de côté unité, mesurent:

La suite des nombres sous radical est :

3, 7, 13, 21, 31, 43, 57, 73, 91, 111, 133, 157, 183, 211, 241, 273, 307, 343, 381, 421, …

Voir Construction de la racine des nombres, Construction des nombres

Exemples
Exemple de losange résolu D est le diamètre du cercle inscrit: D = 2r. Figure en principe à l'échelle pour un grossissement-image de 100%. Cas de losanges entiers ou rationnels Les valeurs de a, h et de sont entières si a, h/2 et d/2 forment un triplet de Pythagore. Par exemple: avec le triplet (3, 4, 5) => a = 5, h = 6 et d = 8 ou leurs multiples (75, 90 et 120 ci-dessous). Quelques exemples:

Cercle inscrit
Un losange possède toujours un cercle inscrit. Son centre est le centre du losange O, le point d'intersection des diagonales. Le rayon est la hauteur des triangles rectangles générateurs du losange. Le calcul est un bon exercice avec les identités trigonométriques des angles moitiés (ou doubles)
Dans l'un des triangles rectangles (de côté OB, par exemple).
Remplacement h par sa valeur en fonction de bêta (tableau ci-dessus).
Avec: sin 2A = 2 sin A . cos A => Cette relation a été utilisée également pour exprimer l'aire du losange en fonction de alpha et bêta (voir le tableau).
Les angles alpha et bêta sont supplémentaires (180°); leur sinus sont égaux
La hauteur HB du losange est parallèle au diamètre R1R2 du cercle inscrit. Elle mesure 2r. L'aire du losange est égale au produit de la base (a), par la hauteur (h) comme pour tous les parallélogrammes: A = 2 a r. L'aire vaut également ½ h d. En rapprochant ces deux expressions de l'aire, il vient une relation entre les quatre paramètres du losange.

Construction du losange dans le rectangle
Problème Construire un losange dans un rectangle donné. Seule chose à se rappeler: les diagonales d'un losange se coupent à angle droit en leur milieu. Construction 1. Rectangle jaune. 2. Ses deux diagonales dont l'une sera celle du losange et l'autre (pointillés) sert à construire le point milieu. 3. Perpendiculaire en ce point milieu à l'autre diagonale (verte). 4. Segments bleus depuis les intersections de la perpendiculaire avec le rectangle et rejoignant les sommets. 5. Le losange est tracé (surface bleue). Justification L'une des diagonales du nouveau quadrilatère est coupée en son milieu. L'autre diagonale, limitée par des parallèles, l'est aussi. Un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires et coupées en leur milieu est un losange (propriété n°4 ci-dessus).
Autre méthode plus performante Via la construction de la médiatrice d'une des diagonales (AC). Construction 1. Rectangle ABCD. 2. Cercles (A, AC) et (C, CA). Intersections E et F 3. Segment EF. Intersections G et H. 4. Losange en AGCH. Construction précédente en pointillés verts. Justification Le point I, pied de la médiatrice de AC, est le milieu de AC: IA = IC. Les droites AH et CG sont parallèles. Une sécante passant par I, milieu de la sécante AC, découpe des segments égaux, comme IH = IG. Un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires et coupées en leur milieu est un losange (propriété n°4 ci-dessus).
Côté du losange AB = L; AD = l; AC = d; d² = L² + l² c = AG = AH	Formule	Exemples

Construction du losange dans le triangle
Construire un losange inscrit dans le triangle ABC. Construction 1. Construire la bissectrice de l'angle BAC. Intersection D. 2. Construire, la médiatrice de AD. Intersections E et G. 3. Le losange est en AEDF. Justification La perpendiculaire EF à la bissectrice AD découpe des segments égaux: GE = GF. Les points E et F sont à égales distances des points A et D: EA = ED = FA FD. Le quadrilatère est un losange.

Cercle inscrit
Construire le cercle inscrit dans le losange Construction 1. Losange ABCD 2. Ses diagonales et leur intersection E. 3. Perpendiculaire à AD passant par E. Intersection F. 4. Cercle (E, EF). Les quatre segments du type EF sont des rayons du cercle.

VOISINS
Français	Anglais	Commentaires
Rhombe		Ancien nom français du losange. Latin rhombus : losange; fuseau d'airain dont on se servait dans les enchantements. Grec rhombos. Le mot est passé en anglais et a été conservé. Subtilité Rhombe = tout losange à l'exception du carré.
Losange	Rhombus	Gaulois lausa: pierre plate. Provençal lauza: pierre plate servant de couverture des toits (lave).
Rhomboèdre	Rhombohedron	Polyèdre à 6 faces losange. Parallélépipède dont les côtés ont même longueur.
Rhombique	Rhombohedral	Cristal en forme de losange. Parallélépipède dont les faces sont des losanges.
Rhomboïde	Rhomboid	Ancien nom du parallélogramme. Nom d'un muscle du dos en forme de losange.
Rhomboïdal	Rhomboidal	Polyèdres dont les faces sont des parallélogrammes.

Pavage de Penrose

Ce pavage de Penrose (1974) est réalisé en combinant des losanges de deux tailles. Il est basé sur le décagone comportant cinq petits losanges et cinq grands. La proportion de losanges de grande taille par rapport aux losanges de petite taille tend vers le nombre d'or. La principale propriété de ce pavage: il n'est pas régulier (pas périodique). Ce pavage concentre le plus grand nombre de valeurs angulaires dans un espace réduit. Ce type de pavage de Penrose a été utilisé dans la fabrication d'un rasoir électrique par la société Braun, suite à une recherche selon la méthode TRIZ. Cette disposition favorise la saisie d'un maximum de poils, quel que soit l'angle formé entre les poils et la peau. En 2020, on démontre que les pavages apériodiques de Penrose n’admettent pas de cycle hamiltonien, ce qui n'est pas le cas des pavages apériodiques d’Ammann-Beenker.

Losange doré
Construction Un triangle rectangle (1, 2, ) sert de support à la construction d'un losange de côté . Angle en A = arctan (2) = 63,434948…° Calcul
Petite diagonale	d² = 2² + ( - 1)² = 4 + 5 – 2 +1 = 10 – 2
Grande diagonale	D² = 2² + ( + 1)² = 4 + 5 + 2 + 1 = 10 + 2
Rapport des carrés
Rapport des diagonales	Le nombre d'or

Voir Carré du nombre d'or

English corner
Rhombus: a quadrilateral all of whose sides have the same length. Notez la tournure anglaise Several rhombi. As for all parallelograms, the area K of a rhombus is the product of its base and its height. The base is simply any side length a, and the height D is the perpendicular distance between any two non-adjacent sides.

Suite	Calcul dans le losange (angles) Rectangle Rhomboèdre Multiplications en losange Construction du losange à 45° Faire 7 losanges avec 12 allumettes Découverte des quadrilatères – Juniors
Voir	Géométrie – Index Jeux – Index Polygone Quadrilatère Tangram Trigonométrie – Identités remarquables
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