NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 09/02/2022 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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Périmètre de l'ELLIPSE

Le calcul du périmètre de l'ellipse est une affaire difficile! On connait de nombreuses formules donnant une valeur approchée. Nous allons faire le point.

Aire et périmètre de l'ellipse en fonction du grand axe et du petit axe

Périmètre de l'ellipse ou circonférence de l'ellipse

Autant le calcul du périmètre du cercle est simple (P = 2 R), autant le périmètre de l'ellipse n'est pas simple à calculer. Il existe des calculateurs en ligne sur Internet. Hélas, ils utilisent la formule d'approximation la plus classique qui ne donne qu'une précision de 1%. Avec une calculette, prenez la formule dite en a et b, vous aurez 0,007% sans difficulté. La formule de Ramanujan 2 vous donnera jusqu'à 12 chiffres significatifs. Évidemment si vous avez les outils, vous pouvez calculer la valeur exacte de l'intégrale. Paramètres de l'ellipse Encadrement du périmètre (et exemple avec a = 6 et b = 4) Méthode des cercles équivalents de circonférence Kepler (1571-1630) utilisait un cercle équivalent tel que: En 1883, Thomas Muir (1844-1934) donne cette formule qui améliore nettement le résultat:

Abaque

Le tableau suivant donne les principales formules par rang de précision croissante.

Voir Ellipse Perimeter Calculations Tool de Math is Fun pour obtenir presque tous ces calculs à la fois.

Intégrale – D'où vient cette formule; précision?
	Valeur exacte ? La formule est une intégrale elliptique du second ordre. En bref, elle est transcendantale et n'a pas de solution analytique. Elle est calculée par intégration numérique ou par approximations rationnelles. Les mathématiciens cherchent toujours des formules qui se rapprochent de plus en plus de la valeur théorique (comme c'est le cas avec la constante irrationnelle Pi). En 2006, la meilleure formule dépassait le millionième (1 ppm). Les logiciels de calcul utilisent de telles méthodes. On peut penser qu'ils utilisent les meilleures formules. Exemple Maple ci-dessous avec 100 chiffres. Le résultat est donné avec 20 chiffres. La précision attendue ne dépasse pas 10 chiffres.

Voir Dérivées de sinus et cosinus

Calcul de l'intégrale

Avec Maple pour a = 6 et b = 4. Après réinitialisation, on demande à Maple de faire tous les calculs avec 100 chiffres de précision. On montre les vingt premières décimales de Pi (sur les 100 internes aux calculs) pour se rassurer sur la précision de calcul sur Pi. A est la fonction à intégrer. Int est la commande d'intégration: on indique que c'est A qui doit être intégré en x de x = 0 à x = Pi/2. Evalf permet de calculer la valeur numérique, en dévoilant 20 chiffres significatifs. Les points virgules signifient que nous voulons le retour imprimé; ce que nous avons en bleu.

Ramanujan et le méridien terrestre

Ramanujan donne cette très bonne approximation de la circonférence de l'ellipse:

Appliquée à la longueur d'un méridien terrestre, cette formule donne:

a = 6378 137 m Rayon à l'équateur.

b = 6 356 752,3141 m Rayon au pôle.

p = 40 007 862, 9167951 m calculée.

Pr = 40 007 862, 9164813 m réelle.

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Sites	Ellipse – Wikipédia Ellipsographe – Wikipédia – Voir Animations Ellipse – Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET, Alain Esculier Les coniques – Serge MEHL Les coniques – Applets par XiTi Les coniques – Bibm@th Les coniques – M@ths et tiques Perimeter of an ellipse – Gilles Cazelais – Justification de la formule itérative 1 donnée ci-dessus. Approximations of Ellipse Perimeters – Review of known formulae – Stanislas Sykora – 2005 - Toutes les formules connues et leurs comparaisons Ellipse Perimeter – The quest for a simple, exact expression - document pdf de 74 pages – Énumération de nombreuses formules
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