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TABLETTE de CHOCOLAT Une tablette de chocolat
gratuite pour dix achetées. Quel est le prix exact (intrinsèque) de la
tablette ? Attention! Chaque tablette, y compris
la tablette gagnée, contient un coupon. Avec dix coupons, j'ai droit à une
tablette gratuite qui contient … un coupon! Alors ? Pas si simple … |
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J'achète 10 tablettes. Je dispose de 10 coupons. J'ai droit à ma tablette gratuite qui contient un
coupon. |
Je cherche à connaître le prix
exact d'une tablette de chocolat (sans coupon). Si la tablette plus le coupon coûte 1€, la tablette
coûte un peu moins d'un euro. En fait: 10€ pour 11 tablettes, soit 0,91€. Pas si simple! Avec la tablette gratuite, je dispose
encore d'un nouveau coupon qui a de la valeur. En fait, pour chaque tablette, la 0,1 tablette supplémentaire
contient en plus 0,01 tablette en puissance, et même 0,001, etc. Soit au total 1,111111... ou sous forme d'une série infinie 1 + 1/10
+ 1/100 + 1/1000 +... Ce qui conduit au prix de la tablette pure: 1 / 1, 111… = 0,9€ |
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Illustration
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Quelle est la valeur du coupon? |
Crédit épicier |
Évaluation de mes biens |
Coût |
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J'achète neuf tablettes: |
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9
T |
+
9 C |
9€ |
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Je demande à l'épicier de me prêter une
tablette et son coupon. Cp
= coupon prêté Tp
= Tablette prêtée |
1Tp + 1Cp |
9
T + 1Tp |
+
9C + 1Cp |
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Je donne les 10 coupons pour payer la
tablette gratuite avec son coupon. |
1Tp + 1 Cp |
9
T + 1T + 1Tp |
1C |
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Je rends ce qui m'a été prêté. |
Néant |
9
T + 1 T |
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Il me reste une tablette, sans coupon à
ajouter aux neufs du début. |
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10
T |
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Avec cette astuce, en fin de course, je
dispose de dix tablettes sans coupons que j'ai payées 9€. |
Coût unitaire 9 / 10 = 0,9€ |
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Une simple tablette
(sans coupon) vaut: 0,9 euro. |
La valeur marchande
du coupon est égale à: 0,1111… euro ( =
1 / 9) |
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En rapprochant les deux calculs: |
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1 + 1/10 + 1/100 +
1/1000 + ... |
=
1 + 1/9 |
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La série (infinie
de nombres) est convergente |
sa
somme (ou sa limite) est
1+1/9 |
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On peut aussi
écrire |
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1,1111… 0,1111… 0,9999… |
=
1 + 1/9 =
1/9 =
1 |
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Les décimaux finis: 0,1; 0,2
... |
peuvent
s'écrire avec une suite infinie sous la forme 0,0999...; 0,19999... |
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Voir Rationnel 1 = 0, 999…
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Suite |
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Voir |
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