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Rectangles magiques IMPAIRS

Exemples et construction

Exemples de rectangles magiques impairs. Leur construction s'avère extrêmement difficile sans l'aide des ordinateurs et d'algorithmes élaborés.

Les auteurs en référence proposent la construction des rectangles magiques m x m+2 avec m impair en utilisant des tableaux de nombres (matrices).

Rectangles magiques impairs – Exemples
Rectangle 3x5 Données magiques m = 5, n = 3 N de 1 à 3x5 = 15 S = ½ 15 x 16 = 120 M = ½ (3 x 5 + 1) = 8 SL = 5 x 8 = 40 SC = 3 x 8 = 24 Rappel: Normal: tous les nombres de 1 à mn. Associatif: somme constante avec les extrémités des diagonales. Voir Données magiques	Rectangle 3x5 normal puis normal et associatif Suite sur le Rectangle 3 x 5
Rectangle 3x7 Données magiques m = 7, n = 3 N de 1 à 3x7 = 21 S = ½ 21 x 22 = 231 M = ½ (3 x 7 + 1) = 11 SL = 7 x 11 = 77 SC = 3 x 11 = 33	Rectangle 3 x 7 normal puis normal et associatif
Rectangle 5x7 Données magiques m = 7, n = 5 N de 1 à 5x7 = 35 S = ½ 35 x 36 = 630 M = ½ (5 x 7 + 1) = 18 SL = 7 x 18 = 126 SC = 5 x 18 = 90	Rectangle 5 x 7 normal puis normal et associatif

Approche de la construction – Exemple d'un RM 9x15

Distribution régulière En adoptant un remplissage haut-bas et gauche-droite, on obtient un rectangle presque magique. les sommes en colonnes sont correctes les sommes en lignes présentes une différence croissante de une unité en s'éloignant de la ligne centrale. Reste à déformer ce bel ensemble pour en faire un vrai rectangle magique. Pas facile! Exemple de déformation pour arriver à la solution Solution trouvée par Arsène Durupt Sommes magiques respectées En adoptant un remplissage gauche-droite et haut-bas, on obtient un rectangle presque magique. Reste à déformer ce bel ensemble pour en faire un vrai rectangle magique. Pas facile!

Voir Rectangle magique 9 x 15

Point de situation

On peut obtenir assez rapidement un rectangle presque magique. Reste à travailler le tableau pour conserver les sommes magiques tout en introduisant les nombres manquants.

C'est l'objet de la méthode indiquée ci-dessous qui est due aux auteurs dont les textes sont cités en référence.

Construction Rm x (m+2) avec m impair – Exemple R7x9
La méthode est décrite dans cette colonne	Avec exemple d'application dans cette colonne
1) Construire la matrice Jm x m avec Jij = 1	Exemple R 7x9
2) Construire la matrice Am x m avec aij = j + i + (m – 3)/2 mod m Exemple de calcul a11 = 1 + 1 + (7 – 3)/2 mod 7 = 2 + 2 mod 7 = 4 a77 = 7 + 7 + (7 – 3)/2 mod 7 = 14 + 2 mod 7 = 16 mod 7 = 2x7 + 2 mod 7 = 2
3) Construire la matrice Bm x m avec bij = 2(j – 1) + i mod m
4) Construire la matrice Cm x m avec m.A + B + J

Détail du calcul

5) Construire la matrice D2 x m avec remplissage de m² à m² + 2m, et inversion de la dernière ligne avec la troisième.
6) Construire les matrices C1 et D1 résultant des échanges suivants: Pour i de 1 à (m – 1)/2 échangez 2i – 1 dans C par m² + 2i – 1 dans D
7) Construire les matrices C2 et D2 résultant des échanges suivants: Pour i de 1 à (m + 1)/2 échangez m + 2i – 1 dans C1 par m² + m + 2i – 1 dans D

8) Construire la matrice R en juxtaposant C2 et D2. Données magiques m = 9, n = 7 N de 1 à 7x9 = 63 S = ½ 63 x 64 = 2016 M = ½ (7 x 9 + 1) = 32 SL = 9 x 32 = 288 SC = 7 x 32 = 224

Collection de rectangles magiques impairs
3 x 5	5 x 7
3 x 7	5 x 9

3 x 9	7 x 9
3 x 11	9 x 11

3 x 13	5 x 11
5 x 13	7 x 11

9 x 15

Tous les rectangles magiques de cette collection on été obtenus avec le générateur cité en référence

Un spécimen de 15 x 17 créé par Arsène Durupt

Notez que 1, 2 et 3 sont en colonne 1, puis 4, 5 et 6 en colonne 2, etc. jusqu'à 49 50 et 51 en colonne 17.

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Sites	Magic Rectangles – Mitsutoshi Nakamura On a method to construct magic rectangles of odd order – Chand K. Midha, J. P. De Los Reyes, Ashish Das and L.Y. Chan – Les auteurs exposent leur méthode et en démontre la validité. Construction of magic rectangles of odd order – Feng Shun Chai, Ashish Das et Chand Midia Générateur de carrés magiques impairs
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