NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 31/12/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
	Carrés magiques
Débutants Carrés magiques	Généralités			Glossaire Carrés magiques
INDEX Carrés magiques Ordres Constructions Magie Jeux de grilles Jeux et énigmes	Débutant	Introduction	Type	Ordre 3
	Somme	Quantité	Dénombrement	Ordre 4
	Vocabulaire	Symétrie	Sites	Ordre 5
		Sommaire de cette page >>> Le carré magique 3 x 3 >>> Pourquoi 15 est la somme magique ? >>> Huit sommes égales à 15 >>> Pourquoi 5 au milieu ? >>> Esthétique et symétrie >>> Il existe un seul carré magique 3 x 3 >>> Magie du carré magique >>> Carré magique à clés

CARRÉS MAGIQUES

Spécial débutants / novices

Pourquoi le carré magique de 3 x 3 existe-t-il ?

Nous découvrirons:

qu'il est unique;

que la somme magique est 15; et

que le chiffre du centre est 5.

Mais, est-il si magique que cela ? Oui !

Notez bien qu'il existe plus simple que les carrés magiques; ces sont les carrés latins.

Le fameux jeu de Sudoku dérive des ces types de carrés.

Anglais: Magic squares for beginners, for dummies (pour les nuls)

LE CARRÉ MAGIQUE 3 X 3
Voici un carré et des lettres. Chaque lettre représente un chiffre de 1 à 9. Le carré est magique si les sommes des chiffres sont égales sur: les lignes, les colonnes, et les diagonales. Ainsi, on doit trouver 8 sommes dans le carré, dont les valeurs sont égales.	Lignes A + B + C = N D + E + F = N G + H + I = N Colonnes A + D + G = N B + E + H = N C + F + I = N Diagonales A + E + I = N C + E + G = N

Voir Jeux des cryptogrammes / Tous les chiffres de 1 à 9

Pourquoi 15 est la SOMME MAGIQUE ?
Selon notre hypothèse du départ: les lettres A, B, C, D, E, F, G, I correspondent aux chiffres. Bien sûr, on ne sait pas encore quelle lettre correspond à quel chiffre.	A + B + C + D + E + F + G + H + I = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9
Reprenons les sommes sur les trois lignes.	A + B + C = N D + E + F = N G + H + I = N
Et ajoutons tout cela.	A + B + C + D + E + F + G + H + I = 3N
La somme de toutes les lettres est égale à:	3N
Calculons la somme des chiffres:	1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45
La somme des lettres est égale à la somme des chiffres.	3N = 45
Et, la valeur de la somme magique est:	N = 15

HUIT SOMMES ÉGALES À 15 …
Nous avons vu que le carré magique de 3 x 3 nécessite 8 sommes de trois chiffres qui donnent 15. Cela tombe bien car 15 peut être découpé en 8 sommes de trois chiffres qui donnent 15. Observons combien de fois chacun des chiffres apparaît dans ces sommes.	1 + 5 + 9 = 15 1 + 6 + 8 = 15 2 + 4 + 9 = 15 2 + 5 + 8 = 15 2 + 6 + 7 = 15 3 + 4 + 8 = 15 3 + 5 + 7 = 15 4 + 5 + 6 = 15 4 fois pour le 5 3 fois pour 2, 4, 6, 8 (pairs) 2 fois pour 1, 3, 5, 7 (impairs)

Pourquoi CINQ au MILIEU ?
La case du centre apparaît 4 fois dans les sommes du carré magique. Seul le 5 répond à cette exigence: E = 5. Un nombre en coin comme le A est présent dans trois sommes; ce sera donc un nombre pair. Un nombre en milieu de côté comme le B est impliqué dans deux sommes; ce sera un nombre impair. Avec ces indications, on trouve facilement la structure du carré: On vérifiera facilement que toutes les possibilités de placement des nombres en périphérie (le 5 est toujours au centre) donnent, en fait, le même carré magique.

Les huit façons de positionner les nombres impairs

Il y a 4 positions pour le 1, le 9 étant en face.

Pour chaque cas, il existe deux manières de placer le couple 3, 7.

Pour placer les nombres pairs en coin, on remarque que la ligne avec 9 impose le couple (2, 4), seule possibilité pour donner 15.

Deux cas possibles, dont un qui ne permet pas d'obtenir la somme 15.

Au total, huit façons de construire ce carré magique de 3x3.

Chacun étant une forme permutée des autres.

Le carré magique 3 x 3 est unique, aux permutations près des nombres.

Voir Formule générique des carrés 3 x 3 / Exercice de programmation

ESTHÉTIQUE ET SYMÉTRIE
Un autre raison de trouver le 5 au centre: 5 est juste au milieu des chiffres: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Et, on peut trouver des chiffres équidistants de 5: 1 = 5 – 4 et 5 + 4 = 9 2 = 5 – 3 et 5 + 3 = 8 3 = 5 – 2 et 5 + 2 = 7 4 = 5 – 1 et 5 + 1 = 6 Ces chiffres vont donc par paires (1, 9) (2, 8) … et ils forment les extrémités des rayons d'une roue autour du cinq.

Conclusion

Il existe un carré magique 3 x 3, mais un seul. Il est curieux de trouver une correspondance de 8 sommes donnant 15, et un besoin tout juste de 8 sommes pour réaliser le carré magique de 3 x 3. Il est extraordinaire de trouver que les chiffres de 1 à 9 se trouvent le bon nombre de fois dans les sommes de 15, juste ce qui faut pour faire un carré magique de 3 x 3. En fait 15 permet une telle prouesse; et il est le seul. Je vous invite à apprécier cette magie en allant sur la page: Digipartition et carré magique

Magie du carré magique

Chaque cellule du milieu (chiffre blanc) est dépliée sur le milieu opposé (en rose). Alors les nombres de 1 à 9 (en bleu) apparaissent sur des diagonales, à la suite les uns des autres. C'est précisément une des méthodes de construction du carré magique.	Notez que le nombre 7 prendrait sa place naturellement de l'autre côté si le carré était enroulé en cylindre. Et cela est vrai pour les quatre nombres qui débordent.
Lançons-nous et utilisons cette méthode pour construire notre premier carré magique avec 5 x 5 cases. Les nombres à placer vont de 1 à 25 et la somme magique est 65. La case centrale est 13 et tous les couples opposés par rapport à cette case centrale donnent une somme égale à 2 x 13 = 26. Vous pouvez poursuivre avec des carrés n x n, pourvu que n soit impair.	Les nombres de 1 à 25 sont placés à la suite les uns des autres, le long des diagonales. Ceux qui débordent sont "enroulés" de l'autre côté.

Voir Construction du carré magique 13x13

Carré magique à clés

Idée originale: représenter les nombres d'un carré magique 3x3 par la taille des clés à pipe disposées sur un présentoir à outils. Nombres de 8 à 16 pour une constante magique de 36. Il s'agit d'un carré magique classique dont chacun des nombres a été augmenté de 7. Cela, pour se retrouver dans une gamme de clés existantes.

Merci à Gérard Bakner le créateur de ce carré magique concret

Voir Carrés magiques décalés

Suite	Introduction aux carrés magiques Carré 3 x 3 Carrés magiques – Index
Voir	Bi, tripartitions Carrés – les nombres Carrés en géométrie Carrés mystérieux Géométrie Humour Jeux Jeux de chiffres Nombres consécutifs Nombres magiques – Index Magie – Index Pannumérique Panorama Rubriques débutants Sudoku
Diconombre	Nombre 3 Nombre 9 Nombre 15
Sites	Liens vers les sites carrés magiques
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/CarreMag/CMDebut.htm