Critères de divisibilité par 11, 101, 9, 99

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INDEX Divisibilité	Introduction	Divisibilité par 7, 11 et 13	Par 7
	Critères généraux	Divisibilité par 73, 137 …	Par 11, 101, 99, 999
		Sommaire de cette page >>> Propriétés de ces nombres >>> Exemples de cas de divisibilité >>> Cas de 11, 111 … >>> Calcul mental avec 99, 999…

DIVISIBILITÉ par 11, 101, 1001…

et par 9, 99, 999 …

Critères de divisibilité avec ces nombres et leurs suites.

Si un nombre est divisible par un de ces nombres, il est aussi divisible par leurs facteurs premiers.

En bonus: cas particuliers et amusants de divisibilité par 99, 99…9 … >>>

Factorisation de ces nombres

Voir Repdigits / Repdigits en 9

Propriétés de ces nombres

Ces nombres sont proches, à l'unité près, d'une puissance de 10.

Selon cette puissance, le test de divisibilité s'effectue sur des blocs de mots de taille égale à l'exposant. Par exemple pour 999 et 1001, on formera des blocs de trois chiffres à partir de la droite. La somme est directe pour les nombres en 99 … et alternée pour ceux en 11, 101 …

Exemples
Par 9	123 456 789 1+2+3+4+5+6 = 45
Par 99	12 22 21 44 12 + 22 + 21 + 44 = 99 Divisible aussi par 9 ou 11 50 16 50+16 = 66 Divisible que par 11
Par 999	123 332 544 123 + 332 + 544 = 999 986 666 666 679 986 + 666 + 666 + 679 = 2 997 2 + 997 = 999 Divisible aussi par 3 ou 37 13 662 546 13 + 662 + 546 = 1 221 1 + 22 = 222 Divisible que par 37
Par 11	35 31 3 + 3 – 5 – 1 = 0
Par 101	16 09 50 57 16 + 50 – 9 – 57 = 0 1 48 73 09 52 69 1 + 73 + 52 – 48 – 9 – 69 = 0
Par 1001	123 579 456 123 + 456 – 579 = 0 3 208 576 527 3 + 576 – 208 – 527 = – 156 et 156 = 12 x 13 Divisible que par 13

Cas de 11, 111 …
Pour les repunits 11, 111 et suivants de n chiffres, tester les blocs de n chiffres. English: To test for divisibility by 1/9 (10ⁿ – 1) and by its smaller prime factors if any, add the groups of n digits working from right to left.
Par 11	35 31 35 + 31 = 66
Par 111 et 37	13 703 616 13 + 703 + 616 = 1332 1 + 332 = 333 1 184 1 + 184 = 185 Divisible par 37 pas par 111
Par 1111, 41 et 271	1 3715 9616 1 + 3715 + 9616 = 1 3332 1 + 3332 = 3333

Cas particuliers de divisibilité

Calcul mental avec 99, 999…
Notez ce motif: Les chiffres de 87 sont les compléments à 9 de ceux de 12; La somme est égale à 99 par construction; La concaténation 1287 est un multiple de 99; et Le facteur 13 est égal au premier nombre choisi plus 1.
Cette propriété se vérifie facilement par l'algèbre => Justifiée également par: Le nombre est divisible par 9 (1 + 2 + 8 + 7 = 18), et Il est divisible par 11 (somme alternées nulle: 1 – 2 + 8 – 7 = 0).	N = 10a + b M = 10a' + b' avec a' = 9 – a et b' = 9 – b. N + M = 10a + b + 10(9 – a) + (9 – b) = 10a + b + 90 – 10a + 9 – b = 99 100N + M = 1000a + 100b + 10(9 – a) + (9 – b) = 1000a + 100b + 90 – 10a + 9 – b = 990a + 99b + 99 = 99 (10a + b + 1) = 99 (N + 1)
Florilège	10 + 89 => 1089 = 99 x 11 11 + 88 => 1188 = 99 x 12 12 + 87 => 1287 = 99 x 13 13 + 86 => 1286 = 99 x 14 18 + 81 => 1881 = 99 x 19 22 + 77 => 2277 = 99 x 23 33 + 66 => 3366 = 99 x 34 34 + 65 => 3465 = 99 x 35 35 + 64 => 3564 = 99 x 36 98 + 01 => 9801 = 99 x 99 8 + 91 => 891 = 99 x 9
Ce même motif marche avec trois chiffres ou plus.	123 + 876 = 999 => 123876 = 999 x 124 1234 + 8765 = 9999 => 12348765 = 9999 x 1235 111111888888 = 999999 x 111112 222222777777 = 999999 x 222223
Le développement algébrique confirme cette propriété.	N = 1000a + 100b + 10c + d M = 1000(9 – a) + 100(9 – b) + 10(9 – c) + (9 – d) N + M = 9999 10000N + M = 9999 (1000a + 100b + 10c + d + 1) = 9999 (N + 1)
Cas général
Exemple	123 456 789 876 543 210 = 999 999 999 x 123 456 790

Voir Calcul mental – Index

Nombres de quatre chiffres divisibles par 11

Trois chiffres sur quatre sont fixés.

Quel est le quatrième pour que le nombre soit divisible par 11?

Exemples

123x => 1 + 2 = 4 et 2 + x = 4 => x = 2. En effet: 1232 = 11 x 112

5x26 => 5 + 2 = 7 et x + 6 = 7 => x = 1. En effet: 5126 = 11 x 466

Suite	Voir haut de page Méthode générale par congruence Divisibilité par 42 Divisibilité de formes polynomiales Division par 99
Voir	Nombres parfaits Théorie des nombres – Index Calcul mental – Index
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