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Suite de la page sur an – bn
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Nous avons vu que cette soustraction est divisible par 3
(= 2 + 1) pour les puissances paires. De même
pour cette autre soustraction, divisible par 7 (= 4 + 3). Que dire
de leur somme ? |
3 | 2n
– 1n
7 | 4n
– 3n ? | 4n – 3n + 2n – 1n |
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En
arrangeant les termes de la somme de sorte que la somme des nombres soit
constante, égale à 5. Chaque
parenthèse est divisible par 5, la somme est
divisible par 5. |
? | ( 4n – 1n) – (3n - 2n) 5 | ( 4n – 1n) – (3n - 2n) 5 | 4n – 3n + 2n – 1n |
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Il est
possible de continuer, et ceci, toujours pour les puissances paires. |
? | 6n – 5n + 4n – 3n + 2n – 1n ? | (6n – 1n) – (5n – 2n) + (4n – 3n) 7 | (6n – 1n) – (5n – 2n) + (4n – 3n) 7 | 6n – 5n + 4n – 3n + 2n – 1n |
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Et ceci
autant que l'on veut. |
9 | 8n – 7n + 6n – 5n + 4n – 3n + 2n – 1n |
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5 | 4n – 3n + 2n – 1n Exemple 43 – 33 + 23 – 13 = 44 non
divisible 44 – 34 + 24 – 14 = 190 = 5 x 38 |
n, S, S/5 1,
2, 2/5 2,
10, 2 3,
44, 44/5 4,
190, 38 5,
812, 812/5 6,
3430, 686 7,
14324, 14324/5 8,
59230, 11846 9,
242972, 242972/5 10,
990550, 198110 |
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7 | 6n – 5n + 4n – 3n + 2n – 1n Exemple 64 – 54 + 44 – 34 + 24 – 14 = 861 = 7 x 123 |
Que puissances paires 2,
21, 3 4,
861, 123 6,
34461, 4923 8,
1348221, 192603 10,
51691101, 7384443 |
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9 | 8n – 7n + 6n – 5n + 4n – 3n + 2n
– 1n |
2,
36, 4 4,
2556, 284 6,
178956, 19884 8,
12360636, 1373404 10,
842957676, 93661964 |
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11 | 10n – 9n + 8n – 7n + 6n – 5n + 4n – 3n + 2n – 1n |
2,
55, 5 4,
5995, 545 6,
647515, 58865 8,
69313915, 6301265 10,
7356173275, 668743025 |
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