NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 03/12/2017 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
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	Sommaire de cette page >>> PASCAL et Nombre 100…01^n

TRIANGLE DE PASCAL

Comment faire surgir le triangle de Pascal

avec des nombres binaires?

Approche

Calculons les puissances successives de 11: n, 11^n 1, 11 2, 121 3, 1331 4, 14641 5, 161051 Surprise! Jusqu'à la ligne 4, on retrouve intégralement le début du triangle de Pascal. Cela déraille après la ligne n = 5 (puissance 5), du fait de l'apparition du nombre 10 et d'une retenue qui se propage. Idée Et si nous ajoutions un zéro entre les deux 1, pour laisser la place aux coefficients de s'exprimer … n, 101^n 1, 101 2, 10201 3, 1030301 4, 104060401 5, 10510100501 6, 1061520150601 7, 107213535210701 8, 10828567056280801 9, 1093685272684360901 10, 110462212541120451001 Ouais! Ça marche jusqu'à la ligne 8. Même si encore bien compact. Alors allons-y, insérons davantage de zéros …

Voir Diconombre 11 / 111

Poursuivre avec 5 zéros intermédiaires (par exemple)

Calculons les puissances successives de 100001 1, 1000001 2, 1000002000001 3, 1000003000003000001 4, 1000004000006000004000001 5, 1000005000010000010000005000001 6, 1000006000015000020000015000006000001 7, 1000007000021000035000035000021000007000001 8, 1000008000028000056000070000056000028000008000001 9, 1000009000036000084000126000126000084000036000009000001 10, 1000010000045000120000210000252000210000120000045000010000001 Vous retrouvez-là, en rouge, les valeurs des coefficients de chaque ligne du triangle de Pascal! Bien espacés. Les cinq 0 laissent la place pour atteindre des coefficients de 6 chiffres. Le premier à apparaître et supérieur à 1 million est (25, 8) = 1 081 575. Nous sommes donc tranquilles jusqu'à la ligne 25. Note: Le plus grand à apparaître inférieur à 1 million est (71, 67) = 971 635.

Voir Nombres zébrés

Comment se forment les nombres?
Une explication du mystère… Prenons une ligne => Pour obtenir la ligne suivante, ou passez à la puissance suivante, comme vous voulez, il suffit de multiplier par 101. Soit multiplier par 100 et ajouter le nombre. On obtient, la ligne suivante du triangle. Normal c'est pilepoil la définition du triangle de Pascal. On ajoute les deux nombres de la ligne du dessus. Celui du dessus (effet de la multiplication par 1), et Celui du dessus à gauche (effet de la multiplication par 100).	101^3 = 1030301 1 03 03 01 x 101 + 1 03 03 01 1 03 03 01 00 1 04 06 04 01 1 3 3 1 1 4 6 4 1

Voir Multiplication

Démonstration par récurrence
La propriété est vraie pour 1. On prend l'exemple de tranches de six chiffres. Montrons que si elle est vraie pour n (hypothèse) elle est vraie pour n+1 (héritage).	1 000001 ^1 = 1 000001 1 000001 ^n = A (notation) qui donne la ligne n du triangle de Pascal
Calcul de => en remarquant que c'est la multiplication de la puissance précédente par le nombre en 1 et 0. Ce qui n'est pas bien compliqué: la multiplication par un million provoque un décalage de 6 places vers la gauche, cad. ajout de six 0, et Pour obtenir le résultat, ajouter A.	1 000001 ^n+1 = A x 1 000001 = A x (1 000 000 + 1) = A x 1 000 000 + A x 1 = A000000 + A Ce qui correspond à la construction du triangle de Pascal Pour s'en convaincre revoir comment se forment les nombres

Voir Démonstration par récurrence

Suite	Triangle de Pascal – Binôme Triangle de Pascal – Introduction Triangle de Pascal – Tableau
Voir	Combinaisons Formule du binôme Petit théorème de Fermat
Aussi	Géométrie – Index Récurrence Théorie des nombres Nombres zébrés Démonstration par récurrence
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