Binaire introduction

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 14/03/2023 Orientation générale DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
	NUMÉRATION
Débutants Binaire	BINAIRE			Glossaire Général
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		Sommaire de cette page >>> Système de numération binaire >>> Codage binaire >>> Nombres païens et nombres impies >>> Multiplication égyptienne >>> Anglais >>> Binaire aléatoire >>> Nombre décimaux et binaires avec des 0 et 1 >>> Nombres binaires particuliers >>> Historique >>> Ariane 5 – Bogue informatique de 1996

NOMBRES BINAIRES

Manière de compter avec les chiffres 0 et 1 uniquement.

Méthode utilisée notamment dans les ordinateurs.

C'est Leibniz qui a véritablement introduit le système binaire moderne, même si d'une manière ou d'un autre une sorte de système binaire était utilisé bien avant notre ère. >>>

Une variable qui prend les valeurs 0 ou 1 exclusivement est dite booléenne.

Anglais Binary system

Diderot rappelle que le livre Ye-Kim, écrit en Chine à peu près 25 siècles avant J.-C., traitait déjà de l'arithmétique binaire. Au XVII^e siècle, Leibniz la proposa sans succès. Son réel succès est dû au développement de l'informatique.

Il a 10 sortes de gens dans le monde; ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

There are 10 kinds of people in this world; those who understand binary and those who don't.

Voir Histoire

Système de numération binaire

Système de numération binaire,

ou Système binaire

ou Compter en binaire.

Système qui consiste à coder un nombre avec seulement deux signes, généralement les deux chiffres 0 et 1.

Pour préciser la base 2 lorsqu'il y a risque de confusion, on écrit:

100011011₂

On lit les chiffres les uns après les autres. 1 001 se lit un-zéro-zéro-un et non mille un.

Façon d'écrire en binaire

1 0 0 0 1 1 0 1 1 Classique

Morse

OnnnOOnOO Oui, non

OfffOOfOO Ouvert, fermé

500055055 5 volts ou 0 volt

Aimanté ou non

Le système binaire est un système de numération de position comme le système décimal.

En décimal, on passe des unités aux dizaines, puis aux centaines, etc. à chaque changement de puissances de 10;

En binaire ce sont les puissances de 2.

Décimal

Décimal	10⁴	10³	10²	10¹	10⁰
9					9
89				8	9
789			7	8	9
6 789		6	7	8	9
56 789	5	6	7	8	9

Binaire

Décimal	16 2⁴	8 2³	4 2²	2 2¹	1 2⁰
2				1	0
7			1	1	1
11		1	0	1	1
19	1	0	0	1	1
22	1	0	1	1	0

Codage

Les puissances de 2.

Autant de 0 en binaire que la puissance deux en décimal.

2¹ = 2_décimal = 10_binaire

2² = 4 _décimal = 100_binaire

2³ = 8 _décimal = 1 000_binaire

2⁴ = 16 _décimal = 10 000_binaire

2⁵ = 32 _décimal = 100 000_binaire

_Etc.

Pour convertir un nombre en binaire: ajouter les puissances de deux nécessaires en les notant avec un "1"; les absences de puissances de deux seront notées "0".

Décimal	2⁴	2³	2²	2¹	2⁰
23
= 1 x 16	1
+ 0 x 8		0
+ 1 x 4			1
+ 1 x 2				1
+ 1 x 1					1

23_décimal = 10 111_binaire

Nombres païens ou impies

Un nombre païens (evil number) est un nombre positif qui contient une quantité paire de "1" dans sa représentation binaire. Dans le cas contraire le nombre est dit impies (odious number).

Utiles car ils donnent la position des zéros de la suite de Thue-Morse.

En anglais ces noms rappellent even et odd (pair et impair) d'où également ce rappel pour les noms en français.

Nombres païens

avec représentation binaire

Nombres païens: 50 jusqu'à 100

0, 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 17, 18, 20, 23, 24, 27, 29, 30, 33, 34, 36, 39, 40, 43, 45, 46, 48, 51, 53, 54, 57, 58, 60, 63, 65, 66, 68, 71, 72, 75, 77, 78, 80, 83, 85, 86, 89, 90, 92, 95, 96, 99, …

Nombres païens: 50 de 100 à 200

101, 102, 105, 106, 108, 111, 113, 114, 116, 119, 120, 123, 125, 126, 129, 130, 132, 135, 136, 139, 141, 142, 144, 147, 149, 150, 153, 154, 156, 159, 160, 163, 165, 166, 169, 170, 172, 175, 177, 178, 180, 183, 184, 187, 189, 190, 192, 195, 197, 198, …

0, 0

3, 11

5, 101

6, 110

9, 1001

10, 1010

12, 1100

15, 1111

17, 10001

18, 10010

20, 10100

2010, 11111011010

2012, 11111011100

2015, 11111011111

2016, 11111100000

2019, 11111100011

2021, 11111100101

2022, 11111100110

2025, 11111101001

Nombres pernicieux

La somme des chiffres en binaire est un nombre premier.

2-pernicieux

3, 5, 6, 9, 10, 12, 17, 18, 20, 24, 33, 34, 36, 40,

48, 65, 66, 68, 72, 80, 96 …

p-pernicieux

7, 11, 13, 14, 19, 21, 22, 25, 26, 28, 31, 35, 37,

38, 41, 42, 44, 47, 49, 50, 52, 55, 56, 59, 61, 62,

67, 69, 70, 73, 74, 76, 79, 81, 82, 84, 87, 88, 91,

93, 94, 97, 98, 100 …

Nombres dopey

Se terminent par une quantité impaire de zéros

2, 6, 8, 10, 14, 18, 22, 24, 26, 30, 32, 34, 38, 40, 42, 46, 50, 54, 56, 58, 62, 66, 70, 72, 74, 78, 82, 86, 88, 90, 94, 96, 98, 102, 104, 106, 110, 114, 118, 120, 122, 126, 128, 130, 134, 136, 138, 142, 146, 150, 152, 154, 158, 160, 162, 166, 168, 170, 174

Multiplication égyptienne – Exemple très ancien d'application du système binaire
Comment faire simplement une multiplication? Un Égyptien du nom d'Ahmès (environ – 1650) opérait de la façon suivante. Soit à calculer 13 x 25: on écrit 1 et 25 sur le première ligne. On double sur les lignes suivantes.	1 2 4 8 16	25 50 100 200 400
On s'arrête lorsque le nombre de la première colonne dépasse 13. On coche (rouge) les lignes telles que la première colonne donne un total de 13 (13 en binaire = 8 + 4 + 1).	1 2 4 8 16	25 50 100 200 400
On somme les lignes cochées. Le produit de 13 par 25 est 325.	13	325

Voir Fractions égyptiennes

ENGLISH CORNER

The binary numeral system or base-two numeral system is a system for representing numbers in which a radix (fr. base) of two is used.

The commonly-used decimal numeral system has a radix of ten

Typically, the symbols 0 and 1 are used to represent binary numbers.

Owing to its relatively straightforward implementation in electronic circuitry, the binary system is used internally by virtually¹ all modern computers.

¹ Virtually = pratiquement. Voir Faux-amis

BINAIRE ALÉATOIRE

Si on veut être sûr d'obtenir un générateur binaire équilibré (autant de 0 que de 1), on peut utiliser la méthode simple proposée par Von Neumann.

On couple les bits

01 01 00 10 11 11 10 10 10 00 11 01 11 00 10 01

On supprime les 00 et 11

01 01 10 10 10 10 01 10 01

01 devient 0 et 10 devient 1

0 0 1 1 1 1 0 1 0

Probabilités:

du 0	du 1	du 01	du 10
p	1 – p	p (1 – p)	(1 – p) p
		= 1/2	= 1/2

Grand-père des calculettes

En 1918, Bloch et Abraham (français) construisent une machine à additionner en binaire. La présence ou l'absence de courant témoignent des 0 et des 1.

Voir Additionneur binaire – Diaporama de découverte Junior / Inventions

Nombre décimaux et binaires avec des 0 et 1

Conversion des nombres décimaux qui ont une allure binaire en nombres binaire.

Exemple: le nombre décimal 100
vaut 1 100 100 en binaire,
soit 144 en octal.

1	1
10	1 010
11	1 011
100	1 100 100
101	1 100 101
110	1 101 110
111	1 101 111
1 000	1 111 101 000
1 001	1 111 101 001
1 010	1 111 110 010
1 011	1 111 110 011
1 100	10 001 001 100
1 101	10 001 001 101
1 110	10 001 010 110
1 111	10 001 010 111
10 000	10 011 100 010 000

Nombres binaires particuliers
Puissance de 2	2ⁿ	n = 10	1 024 = 100 0000 0000₂ 1 suivi de dix 0
Mersenne	2ⁿ – 1	n = 10	1 023 = 11 1111 1111₂ dix fois le nombre1
Thabit	2ⁿ⁺¹ + (2ⁿ – 1)	n = 10	2 048 + 1 023 = 3 071 = 1011 1111 1111₂ 10 suivi de dix 1
Fermat		n = 3	2⁸ + 1 = 257 = 1 0000 0001₂
Carol et Kenya	(2ⁿ – 1)² – 2 (2ⁿ + 1)² – 2	n = 3	(2³ – 1)² – 2 = 47 = 101111 (2³ + 1)² – 2 = 79 = 1001111

Voir Autres en puissance de 2

Historique
Vers – 3000	Calcul des périodes religieuses sous l'empereur chinois Fou-Hi (Fohy). Son symbole magique taoïste est l'octogone avec trigramme.
Vers – 1650	Multiplication égyptienne: application implicite de la numération binaire
Verts – 300	Aristote (-384 à -322) définit les bases de la logique.
1600	Thomas Harriot (1560-1621) laisse plusieurs milliers de pages manuscrites sur lesquelles apparaissent les premières expressions du binaire connue en France (et aussi: ternaire, quaternaire et quinaire).
	Simon Steven (1548-1620), Francis Bacon (1651-1626), Claude-Gaspar Bachet (1581-1628), Blaise Pascal (1623-1662), Erhard Weigel (1625-1699) se sont intéressés aux systèmes de numérations d'une manière ou d'une autre.
1703	Gottfried Leibniz (1646-1716) publie Explication de l'arithmétique binaire. Un système connu des Chinois dont il s'interroge sur l'utilité. Il s'était intéressé à ce système dès 1697 comme en atteste ses lettres. Titre complet: Explication de l’arithmétique binaire qui se sert des seuls caractères 0 & 1 avec des remarques sur son utilité & sur ce qu’elle donne le sens des anciennes figures chinoises de Fohy. Manuscrit de 1679: De progressione dyadica, publié en 1966 sous le titre: Herr von Leibniz, Rechnung mit Null und Eins (calcul avec des zéros et des uns).
1847	Georges Boole (1818-1864) met au point l'algèbre de Boole, basée sur l'utilisation du système binaire. En 1854 l’anglais Boole publie un ouvrage dans lequel il démontre que tout processus logique peut être décomposé en une suite d’opérations logiques (et, ou, non) appliquées sur deux états (zéro-un, oui-non, vrai-faux, ouvert-ferme).
1867	Charles Sanders Peirce trouve des ressemblances entre l'algèbre de Boole et la théorie des circuits électriques. L'algèbre de Boole reste encore méconnue est bien abstraite.
1938	Claude Shannon (1916-2001). Dans sa thèse, il remet à jour l'algèbre de Boole et voit son utilité en électronique. Il définit le bit (BInary digiT)
1937	George Stibitz (1904-1995) réalise des circuits numériques avec des relais (élément de commutation électrique à base d'électroaimants). Avec Samuel Williams, il construit un calculateur basé sur cette technologie.
1937	L'ABC (Atanasoff–Berry Computer) est l'un des tout premiers ordinateurs électronique numérique avec l'ENIAC, testé avec succès en 1942
…	Suite en historique de l'informatique

Histoire de défaut binaire

Ariane 5 – Bogue informatique de 1996
Faits Le 4Juin 1996, à Kourou en Guyane, 37 secondes après le décollage, la fusée Ariane 5 explose en plein ciel à 4000 m d'altitude. Le logiciel de navigation pour Ariane 4 a été reconduit intégralement pour Ariane 5, sans vérifier la compatibilité. L'incident a coûté plus d'un milliard de francs.	Explications Un bogue (un bug) informatique niché sur la variable allouée à l'accélération horizontale. Atteignant un maximum de 64 pour Ariane 4, elle était codée sur huit bits, soit 256 valeurs, compatible avec la dynamique de 64 (= 100 0000 en binaire). Or, l'accélération d'Ariane 5 peut atteindre 300 (= 100101100, soit neuf bits), incompatible d'un codage sur huit bits. Malheureusement, la capacité fut dépassée, face à une valeur absurde (erronée), le logiciel a ordonné l'autodestruction de la fusée.

Suite	Additionneur Carrés distincts (application du binaire) Codage binaire-Fibonacci Code Gray Combien de blocs de 0 et de 1 (énigme) Conversion Division longue en binaire Fibonacci – Mot binaire Fibonacci La table 1 à 10 en binaire Langage binaire des ordinateurs Langage des ordinateurs Junior Diaporama Les nombres négatifs en binaire Nombres binaires et triangle de Pascal Palindromes binaires Suite binaire dorée
Voir	Bases de numération Base ternaire Base 20 Carré de Dürer en binaire Nombres – Glossaire Dualité Trigramme
Sites	Système binaire – Wikipédia Binary system – Wikipedia (plus complet, en anglais) History of binary and other nondecimal numeration – Anton Glaser – pdf 231 pages. Histoire détaillée à partir des années 1500. Le manuscrit «De Progressione Dyadica» de Leibniz par Yves Serra, ingénieur. Evil number – Wikipedia OEIS A001969 – Evil numbers: numbers with an even number of 1's in their binary expansion OEIS A036554 – Numbers whose binary representation ends in an odd number of zeros Beyond odious and evil** – J.-P. Allouche, Benoit Cloitre et V. Shevelev – pdf 13 pages
Vidéo	An Ingenious Marble Adding Machine – Edmark M. Law
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