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Nombres premiers de Mersenne

Nombres premiers de la forme: 2ⁿ – 1.

Ce sont eux qui détiennent les records du plus grand nombre premier connus.

NB. Ne pas confondre: le N° donnant le rang d'un nombre de Mersenne premier et son indice "n" dans M_n indiquant la puissance de 2 impliquée.

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Voir Factorisation de tous les nombres en 2ⁿ – 1 jusqu'à n = 200

MERSENNE premiers
N°	Nombre de Mersenne	Quantité de chiffres	Par qui	Découverte
52 ?	2^136 279 841− 1	41 024 320	GIMPS - Luke Durant	12/10/2024
51 ?	2 ^82 589 933– 1	24 862 048	GIMPS – G16	12 / 2018
50 ?	2 ^77 239 917– 1	23 249 425	GIMPS – G15	12 / 2017
49 ?	2 ^74 207 281– 1	22 338 618	GIMPS – Curtis Cooper	1 / 2016

Le nombre premier le plus long en 2016 (M49?)

3003764180 8460618205 2986098359 1660500568 7586303030 1484843941 6933455477 2321906799 4296893655 3007726883

... 22 338 418 chiffres ...

3646879425 8014451073 9310021292 7181629335 9314942390

1821387921 7671164956 2871904986 8701007339 1086436351

Les deux derniers ont été découverts par Curtis Cooper.

En janvier 2016, il s'agit de son quatrième nombre premier record.

48?	2 ^57 885 161– 1	17 425 170	GIMPS – Curtis Cooper	1 / 2013
47	2 ^43 112 609– 1	12 978 189		8 / 2008
46	2 ^42 643 801– 1	12 837 064	GIMPS	4 / 2009
45	2 ^37 156 667– 1	11 185 272	GIMPS	9 / 2008
44	2 ^32 582 657– 1	9 808 358	GIMPS	9 / 2006
43	2 ^30 402 457– 1	9 152 052	GIMPS	12 / 2005
42	2 ^25 964 951– 1	7 816 230	GIMPS	2 / 2005
41	2 ^24 036 583 – 1	7 235 733	GIMPS	5 / 2004

GIMPS

Great Internet Mersenne Prime Search, lancé par George Woltman en1996. Appel aux volontaires qui accueillent le programme GIMPS sur leur ordinateur et déroulent le programme de recherche sur une plage de nombres.

40 ?	2 ^20 996 011 – 1	6 320 430	GIMPS	2003
39	2 ^13 466 917 – 1	4 053 946	Cameron, Woltman, Kurowski, GIMPS	2001
38	2 ^6 972 593 – 1	2 098 960	Hajratwala, Woltman, Kurowski & GIMPS, PrimeNet	1999
37	2 ^3 021 377 – 1	909 526	Clarkson, Woltman, Kurowski & GIMPS, PrimeNet	1998
36	2 ^2 976 221– 1	895 932	Spence, Woltman & GIMPS	1997
35	2 ^1 398 269– 1	420 921	Armengaud, Woltman & GIMPS	1996
34	2 ^1 257 787– 1	378 632	Slowinski & Gage	1996
33	2 ^859 433– 1	258 716	Slowinski & Gage	1994
32	2 ^756 839– 1	227 832	Slowinski & Gage	1992
31	2 ^216 091– 1	65 050	David Slowinski – Cray	1985

En 1985

On découvre le 31^e nombre de Mersenne premier avec l'exécution de 1 500 milliards opérations sur calculateur Cray.

30	2 ^132 049– 1	39 751	David Slowinski – Cray	1983
29	2 ^110 503– 1	33 265	Welsh & Colquitt – NEC	1988
28	2 ^86 243– 1	25 962	David Slowinski – Cray	1982
27	2 ^44 497– 1	13 395	Slowinski & Nelson – Cray	1979
26	2 ^23 209– 1	6 987	L. Curt Noll – CDC	1979
25	2 ^21 701– 1	6 533	Nickel & Noll – CDC	1978
24	2 ^19 937– 1	6 002	Bryant Tuckerman – IBM	1971
23	2 ^11 213– 1	3 376	Donald B. Gillies – Illiac	1963
22	2 ^9 941– 1	2 993	Donald B. Gillies – Illiac	1963
21	2 ^9 689– 1	2 917	Donald B. Gillies – Illiac	1963

20	2 ^4 423– 1	1 332	Alexander Hurwitz – IBM	1961
19	2 ^4 253– 1	1 281	Alexander Hurwitz – IBM	1961
18	2 ^3 217– 1	969	Riesel	1957
17	2 ^2 281– 1	687	Robinson	1952
16	2 ^2 203– 1	664	Robinson	1952
15	2 ^1 279– 1	386	Robinson	1952
	2 ^1 039– 1	Record de factorisation		2007
14	2 ^607– 1	183	Robinson	1952
13	2 ^521– 1	157	Robinson	1952

Valeurs pour les trois derniers cités

1279	10407932194664399081 92524032736408553861 52622472667048053191 12350403608059673360 29801223944173232418 48424216139542810077 91383566248323464908 13990660567732076292 41295093892203457731 83349661583550472959 42054768981121169367 71475484788669625013 84438260291732348885 31116082853841658502 82556046662248318909 18801847068222203140 52102669843548873295 80288780508697361869 00714720710555703168 729087 = 0,104079321910 ^386
607	53113799281676709868 95882065524686273295 93117727031923199444 13820040355986085224 27391625022652292856 68889329486246501015 34657933765270723940 95199787665873519438 31270835393219031728 127 = 0,5311379928 10 ^183
521	68647976601306097149 81900799081393217269 43530014330540939446 34591855431833976560 52122559640661454554 97729631139148085803 71219879997166438125 74028291115057151 = 0,686479766010 ^157

Pour information

M727 = 2^727 – 1	= p98 × p122 p98 = 1760629171181543403793488187233161167077749116644 \ 5300472749449436575622328171096762265466521858927 p122 = 400994997261837585178919394286016657070637945934 \ 4394068988852655680258152926272814339895974344415 \ 0539520890742947533452401
M491 = 2^491 – 1	Ce nombre de Mersenne est le plus petit à avoir sept facteurs.
= 983 × 7 707 719 × 110 097 436 327 057 × 6 976 447 052 525 718 623 × 19 970 905 118 623 195 851 890 562 673 × 3 717 542 676 439 779 473 786 876 643 915 388 439 × 14 797 326 616 665 978 116 353 515 926 860 025 681 383
M431 = 2^431 – 1	Ce nombre de Mersenne est le plus petit à avoir huit facteurs.
= 863 × 3449 × 36 238 481 × 76 859 369 × 558 062 249 × 4 462 152 737 × 142 850 312 799 017 452 169 × P70 P70 représente un nombre premier de 70 chiffres.

Source: Daniel Lignon – Dictionnaire de (presque) tous les nombres entiers / Table des facteurs des nombres de Mersenne (2022)

Voir Nombre 431 / Nombre 491

Mersenne factorisé
2^193 – 1 = 12554203470773361527671578846415332832204710888928069025791 = 1,25… 10^58 = 13 821 503 x 61 654 440 233 248 340 616 559 x 14 732 265 321 145 317 331 353 282 383 Factorisé en1983 en un peu plus d'une centaine de minutes grâce à une nouvelle méthode de factorisation, efficace si les facteurs ne sont pas de même taille. (Hendrick Lenstra – Albuberque – Nouveau Mexique).
2^397 – 1 = 3,2278… 10^119 = 2 383 × 6 353 × 50 023 × 53 993 × 202 471 × 5 887 983 × 814 132 872 808 522 587 940 886 856 743 × 1 234 904 213 576 000 272 542 841 146 073 × 6 597 485 910 270 326 519 900 042 655 193

Avant les ordinateurs

M₁₂₇ = 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727

0,17 10 ³⁹ soit un nombre à 39 chiffres

De 1876 à 1952, ce nombre, découvert par Lucas, a détenu le record du plus grand nombre premier connu, tous types confondus.

Tous les nombres cités ci-dessous étaient connus sans l'aide des ordinateurs.

Voir ce nombre sur DicoNombre

De Lucas (1842-1891) à Euler (1707-1783)

12	2 ^127– 1	0,17 10 ^39 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727	Lucas	1876
11	2 ^107– 1	0,16 10 ^33 162 259 276 829 213 363 391 578 010 288 127	Powers	1914
10	2 ^89– 1	0,6 10 ^27 618 970 019 642 690 137 449 562 111	Powers	1911
	2 ^67– 1	147 573 952 589 676 412 927 = 193 707 721 x 761 838 257 287	Frank Nelson Cole inscrivit ce produit sur un tableau lors d'une réunion de la Société mathématique américaine. Trois ans de travail!	1903
9	2 ^61– 1	0,2 10 ^19 2 305 843 009 213 693 951	Pervusinf	1883
8	2 ^31– 1	0,2 10 ^10 = 2 147 483 647	Euler* (Supposé tel par Cataldi)	1772

*Voir Défi de Frénicle à Fermat pour n = 31 et n = 61 qui monterait que ce nombre était connu en 1640.

Connus à l'époque médiévale, donc avant Mersenne (1588-1648)

7	2 ^19– 1	= 524 287	Pietro Cataldi	1603
6	2 ^17– 1	131 071	Pietro Cataldi	1603
5	2 ^13– 1	8 191	Manuscrit	1456
/	2 ^11– 1	2 047 = 23 x 89 M11 n'est pas premier	Hudalricus Regius	1536
4	2 ^7– 1	127	/	-275
3	2 ^5– 1	31	/	-275
2	2 ^3– 1	7	/	-500
1	2 ^2– 1	3	/	-500

8 191 - Curiosité

8 191 = 2^13 – 1 = 1 + 90 + 90² = 1 + 2 + 2² + 2^3 +...+ 2^12 Nombre de Mersenne premier. Curiosité de forme. L'un des deux nombres décomposables en somme de puissances successives. Ce nombre de Mersenne premier a un exposant (13) premier. On a conjecturé que ces nombres devaient être premier On aurait eu une formule pour construire une suite infinie de nombres premiers. Mais, la conjecture est fausse: 2^8 191 – 1 est composé.

DicoNombre: Nombre 8 191

Suite	Nombres de Mersenne Nombres parfaits Nombres sublimes
Voir	Ératosthène Grilles Nombres composés Nombres premiers – Index Représentation des nombres Tables – Index
Sites de Chris Caldwell À jour & Très complet	La page des nombres premiers Les 10 plus grands - selon le type de nombres The top 20 of special forms
Calculs	Table des facteurs des nombres de Mersenne (2022) View the digits of largest known prime number GIMPS - Great Internet Mersenne Prime Search Internet-based Distributed Computing Projects – tous les projets de recherche par appel aux calculateurs personnels.
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