Dérivées avec racines

NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 25/10/2021 Orientation générale DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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DÉRIVÉES – Exemple avec racines

Exemples développés à fond pour resynchroniser les personnes qui auraient un peu décroché.

Racine et fractions
Calculer la dérivée de:	f =
La fonction f est un produit. On pourrait également la voir sous la forme d'une fraction: u / v' avec v' = x.	f =
	u =
	v =

Boite à outil:

la dérivée d'un produit:

sans confusion possible on peut écrire le produit.

f' =(u . v)' =

f' = (uv)' =

u . v' + u' . v

uv' + u'v

Dérivée de u:

Voir la boite à outils

u' =

Dérivée de v:

Voir la boite à outils

v' =

Dérivée de uv = f' = uv' + u'v

f' = uv' + u'v =

Calcul du premier terme de l'addition

Le signe moins dans un produit va se placer en tête.

Multiplier par 1/ x² c'est diviser par x²

Les parenthèses deviennent inutiles en haut

A1 =

Calcul du second terme de l'addition

Multiplier par 1/x c'est diviser par x

J'ordonne en x

Je supprime la parenthèse devenue inutile.

Je ne fais rien de x fois racine de x!

A2 =

Retour à la dérivée demandée

Nous voulons une fraction; mettons tout avec le même dénominateur, produit des deux dénominateurs présents en retriant les facteurs commun, ici le x est en commun

f' = (uv)' =

Exprimons A1 avec ce nouveau dénominateur:

Je multiplie par une fraction égale à 1, ce qui ne change pas la valeur de la fraction;

Avec une multiplication, les numérateurs se multiplient comme les dénominateurs;

Le dénominateur est un produit de trois facteurs, je peux inverser (commuter) les facteurs

A1 =

Calcul, en se souvenant de la définition de la racine carré de n: c'est un nombre qui multiplié par lui-même donne n:

Je m'abstiens de simplifier par racine de x, car alors je devrais restreindre à x différent de 0.

A1 =

Exprimons A2 avec le dénominateur commun

A2 =

Revenons à notre dérivée une fois de plus

f' =(uv)'=

A1 + A2 =

Si nous imposons x différent de 0, nous pouvons simplifier par racine de x:

f' =

Si nous voulons conserver toutes les possibilités pour x, nous multiplions par racine de x pour éliminer le radical du dénominateur.

f' =

Calcul avec un programme

Instructions Maple

Notez que deux étapes finales sont nécessaires pour obtenir une fraction simple sans radicaux au dénominateur.

Entrée de l'expression.

Demande du calcul de la dérivée (différentiel) par rapport à x.

Simplification des radicaux, spécialement au dénominateur.

Élimination des radicaux au dénominateur.

Voir Programmation

Boite à outils – Dérivée d'une racine
On se souvient du calcul pratique de la dérivée d'une puissance:	f = f' =
Une racine est une puissance un demi.	a =
Sa dérivée:	a' =
Dérivée d'une puissance:	a' =
Une puissance négative:	a' =

Retour à l'exercice

Voir Dérivées usuelles / Exemple de calcul

Boite à outils – Dérivée d'un inverse
Un inverse est une puissance négative.	a =
Dérivée d'une puissance	a' =
Passage à l'inverse	a' =

Retour à l'exercice

À retenir

Une puissance négative y^-a est l'inverse de la puissance : 1 / y^a .

Une puissance fractionnaire y^1/a est une racine : .

Boite à outils – x et sa racine
Remarque sur x et racine des x Le produit est écrit sous forme compacte; ne pas oublier que cela exprime un produit de trois facteurs. Je suis tenté de faire quelque chose avec x et racine de x.
Je ne peux le faire qu'en passant aux puissances fractionnaires
Un produit de puissance, les exposants s'ajoutent
On peut repasser aux radicaux
Notez que le signe "multiplier" (x) serait source de confusion d'où le point. Celui-ci est même omis lorsqu'il n'y a absolument aucune confusion possible